分离法破解高考函数压轴题

陈小波

【摘 要】“函数与导数”是高中数学的重点内容之一，历届高考试题中经常出现与函数有关的方程或不等式问题，考查了学生的数学建模、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学素养，以及数形结合、分类讨论、化归思想，体现了综合性、应用性、灵活性。

【关键词】高考；函数；分离法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0042-02

分离法可以将方程或不等式问题转化为函数问题，通过求导研究其性质来解决。常见分离法有：分离参数法，分离函数法等。

1 分离参数法

含参数的不等式中，常用分离参数法构造新函数，将不等式问题转化为函数问题，利用导数通过研究函数的单调性解决。

例1 （2017全国II卷文21题）[1]设函数。

（1）讨论的单调性；（过程略）

（2）当≥0时，≤，求的取值范围.

分析：因为≥0时，恒有≤，即≤0

即≤0，可得：≤，

观察不等式≤，容易想到构造差函数辅助解决。

进一步观察，不等式≤中的和很容易分离到不等号两边，可以考虑分离参数法。

当时，不等式恒成立。

当时，需证≥恒

成立。

设，

则，注意到

设，

则

因为，所以，则恒

成立。

所以当时，单调递减，且。

所以，则在时单调递减，且，

因为，

所以，

则≥1，综上所述，的取值范围是。

2 分离函数法

如果不等式中同时出现类似和等组合，可以先进行拆分，将函数进行分离，构造多个新函数，分离后便于求导和简化运算。

例2（2014全國I卷理21题）[2]设函数。曲线在点（1，）处的切线为。

（1）求，；（，过程略）。

（2）证明：。

分析：结合（1）知，因为，所以，观察不等式，尝试构造差函数，在证明函数值大于0，若直接求函数的最小值，通过证明这个函数的最小值大于1，会遇到较大困难。

进一步观察，进行适当变换，将不等式转化为证明恒成立，可以利用分离函数法，构造函数和函数，然后再分别研究这两个函数的性质，作出这两个函数的图像（如图1），会发现，当时，的最小值大于等于的最大值，问题得以解决。

图1

设函数，则，

当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增，

则在的最小值为。

图2

设函数，则，

当时，，当时，，

则在单调递增，在单调递减，

所以在的最大值为。又因为，

所以，当时，，即成立。

事实上，观察不等式，也可以转化为不等式，然后构造函数和函数，做出这两个函数的图像（如图2），可以发现，当>0时，函数的图像总是在函数的图像的上方，则当时，不等式恒成立，所以恒成立，所以成立。

总之，分离法是高中数学中比较常见的数学思想方法，特别是对于含有参数的不等式或者方程的问题，分离法是解决此类问题的重要途径[3]。使用分离法，容易理清解题思路，简化运算，提高做题的正确率，越来越多的压轴题都需要使用该思想方法。

【参考文献】

[1]盛朝阳，邵利.2016年高考数学四川卷文科压轴题的研究与反思[J].中学数学教学参考，2017（09）.

[2]徐坚.转换观点 化繁为简[J].数学通讯，2016（Z4）.

[3]徐章韬，刘创业.MKT：化无形思想为有形技巧——基于对一道“函数的零点”高考试题的分析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（08）.