二重极限的计算方法总结

摘  要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。

关键词：二元函数  二重极限  连续

中图分类号：O172                                   文献标识码：A                         文章编号：1672-3791（2019）03（b）-0239-02

1  预备知识

1.1 二元函数的定义

定义1  设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点，按照某种法则f，都有唯一确定的实数Z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在点处的函数值记为f，即Z=f，其中称为自变量，Z称为因变量。点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。

1.2 二重极限的定义

定义2  设函数Z=f的定义域为D，是平面内的定点。若存在常数A，，，当点时，恒有，则称常数A为二元函数f当时的极限（也称为二重极限），记作或，也可记作或。

注意：（1）在该定义中，函数只需在点的某一去心邻域内有定义即可，极限值A与函数在该点是否有定义无关。

（2）二重极限的存在性与自变量趋近的路径无关。由于二重极限定义中的动点P趋向于点的方式是任意的，因此在一个平面上的点趋向于P0点的方式就有无穷多种，这比一元函数当时的极限只有左右两侧的情形要复杂得多。

（3）如果动点P沿着两条不同的路径趋向于时，函数值趋向于不同的常数，那么二重极限不存在。

2  二重极限的求法

2.1 利用二重极限的定义验证二元函數的极限

2.2 利用二元函数的连续性求二重极限

2.4 利用一元函数极限中的特殊极限求二重极限

2.6 利用一元函数极限的性质求二重极限

3  结语

二重极限与一元函数的极限既有区别又有联系，只有掌握了最基本的求解方法，才能对症下药，解决具体问题。因此对于初学者，一定要根据函数表达式的具体情况，通过多做题和多练习找到合适的计算方法。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：人民邮电出版社，2017.

[4] 辛春元.二重极限计算方法的研究[J].长春教育学院学报，2011（7）：86.

[5] 熊允发，管涛.浅析求二元函数极限的几种方法[J].中国人民公安大学学报：自然科学版，2018（1）：98-100.①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。