运用化归思想指导方程教学

黄丽荣

化归的思想方法是中学数学中最重要的数学思想方法之一。所谓“化归”就是转化和归结的意思。化归的思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将待解决的新问题通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终解答新问题的一种方法。笔者在此结合教学实践谈谈化归的思想在方程教学中的运用。

一、运用化归的思想指导一元一次方程的教学

化归的思想在数学教学中几乎无处不在，它的根本特征是在解决一个新問题时，我们不是直接寻找新问题的答案，而是先去寻找一些熟悉的结果，将待解决的新问题或难解决的问题转化为某个规范化的问题，并运用已经掌握的方法使新问题得到解决。

在进行一元一次方程教学时，我是这样设计的：

提问1：表示什么意思？是一元一次方程吗？它的解是多少？

提问2：你能把表示成上面的形式吗？它的解是多少？

提问3：你能把表示成提问2和提问1的形式吗？它的解是多少？

提问4：你能把表示成提问2和提问1的形式吗？它的解是多少？

提问5：你能解方程吗？它的解是多少？

设计意图：

（一）在解方程的过程中是运用化归的思想方法将复杂的方程通过化归转化为简单的方程，化繁为简。而在解方程的教学过程中，却要反过来，由简到繁，先解决简单的方程，再解决复杂的方程。

（二）要结合具体教学内容进行有意识的训练，在教学过程中设计出问题让学生去观察，去探索化归的思想方法，积极引导学生逐步增强化归的意识，帮助学生掌握化归的思想方法。

（三）既可以看作方程的解，也可以看作是一个最简方程，引导学生明确最简方程是解一元一次方程的化归目标，解方程的过程就是对照化归目标，采取一定的方法，直到达到化归目标。

（四）在一元一次方程解法的教学过程中，“化归”一词没有直接出现，但是化归的思想却体现在解题的每个步骤中。

（五）这样的教学设计学生容易接受，一堂课下来，一般学生能够很顺利地归纳出解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。其实这个步骤就是把一个复杂的方程转化为一个比较简单的方程的过程，学生掌握了化归的思想方法，还可以指导自己去解决一些更为复杂的问题。

二、运用化归的思想方法指导二元一次方程组的教学

化归的思想方法包含三个基本要素：一是化归对象，即把什么内容进行化归；二是化归目标，即化归到何处去；三是化归的途径或化归的方法，即如何进行化归。在解二元一次方程组时，二元一次方程组是化归对象，一元一次方程是化归目标，代入消元法、加减消元法是实施化归的方法。化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。 学生已经学会了一元一次方程的解法，所以一元一次方程是一个数学模式，而把二元一次方程组通过代入消元法、加减消元法化归为一元一次方程，就是将问题规范化、模式化。

三、运用化归的思想方法指导一元二次方程的教学

一元二次方程的基本特点是未知元的次数是“二次”，要把解一元二次方程这个新问题解决，其基本策略是降次，化二次为一次。解一元二次方程有四种基本方法：一是开平方法，二是配方法，三是因式分解法，四是求根公式法。

四、运用化归的思想方法指导分式（无理）方程的教学

化归的思想方法，就是在解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法。转化分等价转化与不等价转化二种，等价转化前后是充要的。在转化过程中，我们要尽量进行等价转化，如果不得以而要采用不等价转化，则应该加上附加条件或进行必要的检验，以保证等价性。

与整式方程相比，分式方程的特殊性在于分母含有未知数。因此分式方程的解法是通过去分母把分式方程化为整式方程，这种转化是一种不等价转化，于是应该进行必要的检验。教学中应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路：化分式方程为整式方程，解出未知数，再进行检验确认。

在化归的思想方法指导下学习了解分式方程之后，学生一般能够顺利地得出解无理方程的基本思路：把无理方程转化为有理方程，解出未知数，再进行检验确认。

随着教材学习内容的安排和化归的思想方法的不断深入，多数学生都能够总结出解方程（组）的基本思路：多元方程组转化为二元方程组或一元方程，无理方程转化为有理方程，分式方程转化为整式方程，高次方程转化为低次方程.

五、运用化归的思想方法指导方程的教学应遵循原则

（一）熟悉化原则

熟悉化就是把我们遇到的“生疏”的问题转化为我们比较“熟悉”的问题，以便充分利用我们己知的知识和经验，使原问题得以解决。这里的“熟悉”，指的是己经能解决或具有既定解决问题的方法与程序。

（二）简单化原则

简单化就是把我们遇到的比较复杂的问题转化为比较简单的，而且容易确定解决问题方向和程序的问题，从而使原问题得到解决。

（三）和谐化原则

所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。数学中的和谐表现在定义、定理、性质、法则以及数、式、形之间。和谐化就是使问题的表现方式更符合数、式与形的内部固有的和谐统一的特点，以便突出问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系，帮助我们去确定解决方法和程序。解方程教学中的“移项”就是很好地体现了和谐化原则。

以上从一个侧面体现了化归的思想方法在方程教学中的重要地位。数学的学习离不开解题，而解题的过程实际上就是转化与化归的过程，是不断地缩小已知与未知之间的差异的过程，所以转化与化归的数学思想方法是惯穿于整个数学学习中的。数学思想方法是一个渐进完成的过程，我们教师要从平时具体的教学过程着手，有目的、有计划、适时适度地渗透，使数学思想方法能贯穿在数学教学的全过程之中，成为一种有意识的教学活动。