平面运动机构自由度计算中特殊结构的应对

宁湘

[摘 要] 平面机构的自由度是指平面运动机构所具有的独立运动的数目，其必定等于机构原动件数目，这是机构存在的充要条件。而在计算平面运动机构的自由度时，常常会出现按公式计算出的自由度与机构实际原动件数不相符合的情况。就如何正确计算平面机构自由度提出了应对方法。

[关 键 词] 平面运动机构；自由度计算；复合铰链；局部自由度；应对策略

[中图分类号] B021.4 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）03-0192-02

组成机构的所有构件都在同一平面或相互平行的平面内运动的机构，称为平面运动机构，又简称为平面机构。平面机构自由度是指平面运动机构具有的独立运动的数目。平面机构中给定的独立运动的规律是由原动件提供的，而每个原动件又只能提供一个独立的运动。因此，平面机构自由度数目必定与机构原动件数目相等。计算平面机构自由度的目的在于判定机构是否正确，机构是否具有确定的相对运动。若不能正确计算平面机构自由度，就无法对平面运动机构的结构、运动及受力情况等进行正确分析和判断。因此，平面机构自由度的正确计算在平面机构的设计中占有十分重要的地位。但在机构自由度的实际计算过程中，常常存在计算出的自由度与机构实际原动件数不相符合的错误情况。这主要是由于对机构中一些特殊结构所引入的约束数计算不正确导致的。

一、平面运动机构自由度的一般计算

在平面运动机构中的任何一个处于自由状态的构件都具有三个自由度（即三个独立的运动）。因此，当平面机构具有N个自由构件时，该机构应该具有3N个自由度。若用低副或高副等运动副将这N个自由构件联接起来组成平面机构，则自由构件的运动必然会受到约束，自由度必然减少。不同类型的运动副所失去的自由度不同，所引入的约束也不同：每个低副联接会使构件失去两个自由度，同时引入两个约束，而每个高副联接则会使构件失去一个自由度，同时引入一個约束。

假设平面机构中共有PH个高副和PL个低副，则该机构共失去（2PL+PH）个自由度，同时共引入（2PL+PH）个约束。因此，平面机构自由度计算的一般公式为：自由度F=3N-（2×PL+PH）。

二、问题的提出

平面运动机构中原动件的数目必须等于机构自由度的数目，这是机构能够具有确定相对运动的重要条件。当机构不能满足这一条件时，会使机构出现运动不确定或薄弱环节发生破坏等现象。

如图1所示各平面运动机构简图，各机构的原动件的数目均为1，机构的自由度数目也应该为1。然而，按平面机构自由度的一般计算公式分别对这三个机构的自由度进行计算如下：

图1a所示机构：N=5，PH=0，PL=6，自由度F=3×5-（2×6+0）=3，与原动件数目为1不符。

图1b所示机构：N=3，PH=1，PL=3，自由度F=3×3-（2×3+1）=2，与原动件数目为1不符。

图1c所示机构：N=4，PH=0，PL=6，自由度F=3×4-（2×6+0）=0，与原动件数目为1不符。

为什么会引起上述计算错误呢？根本的原因在于忽略了机构中的一些特殊结构，如复合铰链、局部自由度、消极约束等的存在。

三、面机构中的特殊结构及其应对措施

（一）复合铰链

复合铰链是指三个或三个以上的构件同时在一处用转动副联接组构成的运动副，如图2所示。

复合铰链应对策略：由m个构件组成的复合铰链应具有（m-1）个转动副。

如图2a所示，由构件2、3和4在C处组成了一个复合铰链，该复合铰链包含由构件2和4组成的转动副和由构件3和4组成的转动副，如图2b所示。所以，该机构N=5，PH=0，PL=7，机构自由度F=3×5-（2×7+0）=1，与机构原动件数为1相符。

（二）局部自由度

局部自由度是指在平面运动机构中所存在的与整个机构运动无关的自由度。

在平面运动机构设计中，有时为了减少高副接触处构件间的摩损，常会考虑采用具有局部自由度的结构，以使高副接触处的滑动摩擦变成滚动摩擦。如图3a所示滚子移动从动件盘形凸轮机构，为了减少盘形凸轮1与从动件3之间的磨损，在凸轮1与从动件3之间装了一个滚子2。但滚子2只绕其自身轴线回转，其并不影响凸轮和从动件等构件的运动。所以，滚子2绕自身中心轴线的回转就是一个局部自由度。

局部自由度应对策略：将机构中的局部自由度除去不计。

如图3a所示，在计算自由度时，除去滚子绕自身中心轴线回转的局部自由度，将滚子2与从动件3连为一体，则图3a就演化成图3b的形式。此时，机构自由构件数N=2，高副数PH=1，低副数PL=2，凸轮机构的自由度为F=3×2-（2×3+1）=1，这与实际相符。

（三）消极约束（虚约束）

消极约束是指在机构中与其他运动副的作用重复，但又对平面机构的运动没有约束作用的约束，也称为虚约束。从运动的角度看，消极约束就是重复的、不必要的、多余的约束。

消极约束应对策略：将产生消极约束的构件和运动副除去不计。

消极约束常发生于下列情况：

1.两构件组成若干重合或平行导路的移动副时，实际只有一个移动副起作用，而其余都是消极约束。

如图4所示盘形凸轮移动从动件凸轮机构，从动件5和机架之间分别在E处和F处各自组成一个移动副，都是只能允许从动件5沿Y轴方向移动。在计算自由度时，从动件5和机架只能按一个移动副计算。

2.两构件组成若干轴线一致的转动副时，只有一个转动副起作用，而其余都是消极约束。

如图5所示，齿轮轴1被两个滑动轴承2（机架）支承，轴与两个轴承组成了两个转动副，都是只能允许齿轮轴1绕轴线转动。在计算自由度时，齿轮轴1和轴承只能按一个转动副计算。

3.两构件各连接点运动轨迹相互重合时，将产生消极约束。

如图6a所示平行双曲柄机构中，原动件曲柄1与从动件曲柄3等长且平行，连杆2与机架4等长且平行，连杆2始终保持平动。该机构自由构件数N=3，高副数PH=0，低副数PL=4，自由度F=3×3-（2×4+0）=1。连杆2上各点的运动轨迹均为圆心在机架AD线上，半径等于曲柄长度的圆弧。因此，可以用一附加构件5分别于动点E和定点F两处铰接，从而构成平面五杆机构，如图6b所示。机构中动点E的运动轨迹与原机构在E点处的运动轨迹完全重合，因而不会影响机构原有运动。但若忽视这种情况，而是按一般公式计算自由度，则机构自由度F=3×4-（2×6+0）=0，这意味着机构不能运动，显然与实际情况不相符。这是由于附加构件5的引入，在增加了三个自由度的同时，引入了两个转动副，从而增加了四个约束，比原来多引入了一个约束。该多引入的约束仍是使点E的运动轨迹为圆心在点F的圆弧。很明显，从运动角度看这个约束是重复的、毫无必要的，应为消极约束。因此，在计算该机构的自由度时，应除去附加构件5以及因其所引入的两个转动副。

4.平面机构中对传递运动不起獨立作用的对称部分，将产生消极约束。

如图7所示的行星轮系中，从运动的角度来分析，在对称布置的多个小齿轮中，只需一个小齿轮就可以了，其他的小齿轮均是消极约束。该机构自由构件数N=3，高副数PH=2，低副数PL=3（其中，齿轮1、3与机架组成复合铰链，含两个转动副），机构自由度F=3×3-（2×3+2）=1，符合实际情况。

在实际中，消极约束随处可见，虽然它对平面机构的运动不起作用，但却对提高机构刚性、改善机构的受力状况有利。只有排除机构中的消极约束，才能计算出机构的真实自由度。

四、结束语

在计算机构自由度时，只有正确分析机构的结构，才能正确计算机构的自由度，从而为正确分析和判断机构的运动、受力等情况提供保证。

参考文献：

[1]杨可桢，程光蕴，李仲生.机械设计基础[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]刘俊尧.机械设计基础[M].北京：化学工业出版社，2008.

[3]劳动和社会保障部教材办公室.机械基础[M].5版.北京：中国劳动社会保障出版社，2011.

编辑 尚思达