或驻足或抽身：诗意数学的视角

【摘   要】课堂教学中教师通过一边驻足于发展点，一边又在生长点处抽身，以营造学生身体与精神同时在场的场域，平衡教的强迫性与学的自由性，实现诗意的数学教学。与此同时，通过雪中送炭、锦上添花等后茶馆式互动，将学生脑的拓展与心的丰盈同步。

【关键词】驻足;抽身;诗意数学;思维

“自由的、顿悟的、灵动的、自然的”这几组词汇所阐释的感觉和体验，构成了“诗意数学”教学的核心特征。[1]也就是说诗意的数学课堂，追求学生身体与精神同时在场的意境，追求教的强迫性与学的自由性的平衡。课堂教学中教师通过一边驻足于发展点，一边又在生长点处抽身，将学生脑的拓展与心的丰盈同步，于是数学学习从表层理解逐步深入到深刻理解，学习数学从工具性的“器”逐步协调到哲学性的“道”。

一、驻足，一笑颜微破

（一）雪中送炭——驻足失衡

【教学案例1】三角形的三边关系

学生在用两根磁条剪其中的一根拼三角形的活动中，出现了几种情况：（1）学生把短的磁条剪成更短的两小段，发现与较长的磁条无法围成三角形。（2）学生把较长的磁条剪成两小段，发现能与原来较短的磁条围成三角形。（3）两根一样长的磁条，学生将其中一根剪成两小段，有的能围出三角形，有的却围不出三角形。

学生在操作中明确认识到“两边之和小于第三边，是围不出三角形的;当两边之和大于第三边，可以围出三角形”。于此，教师可以直接告知结论了：“确实，三角形的两边之和大于第三边。”至于在上述案例中出现的“两边之和等于第三边，有时也能围出三角形”，教师可以解释是因为磁条的厚度带来的误差。

不过，学生亲眼所见与逻辑思考出现了冲突，如果仅仅通过教师居高临下的告诉的方式，学生始终会疑惑重重。这就需要教师及时驻足——

课堂中，笔者便会用几何画板，先出示两根一样长的磁条，再将上面一根随意分成两段，动画演示这两小段磁条努力靠近的过程，如下图：

及时驻足，让学生明白了，原来所谓的“能围成三角形”，其实还是没有围成，只是磁条的粗细带来了视觉误会。同时，动画推演催生了学生的想象，原来当两边之和等于第三边时，“磁条要么撑不开，要么撑开了搭不上”。学生自己用形象化的数学语言，平衡了最初的失衡。

但是，学习如果仅仅满足于眼见为实，思维的力度就缺乏弹性，为此，教学中，教师会继续驻足于“两边之和大于第三边”——

教师提出问题：一根线段长3厘米，另一根线段长8厘米，还需要一根几厘米的线段才能围成一个三角形？当学生回答：大于5厘米的线段都行，但5厘米不行，因为5+3=8。教师继续追问：11厘米行吗？学生一旦接口：11+3>8，可以的，就意味着学生的思維陷入了“负迁移”的泥潭，教师需要及时出示以下图式：

“两边之和大于第三边”，其实有三组关系，即a+b>c，a+c>b，b+c>a。尽管学生已经理解了“三角形的两边之和大于第三边”这句话，但是思维并不深刻，未能缜密考虑任何一条边都可以看作第三边。学生只有认识到了教师的问题中当第三边为5厘米和11厘米时，这三个点又在同一条直线上，才算把静态的概念语言活化成了理性表达。学生体悟到“两边之和大于第三边”，等同于“两边之差小于第三边”，认知的不足在重新顺应到原有的数学图谱上而得以完善。

（二）锦上添花——驻足系统

【教学案例2】加法交换律

学生通过解决实际问题，观察三个以上算式，发现“交换两个加数的位置，和不变”。于是按照这个样式，还可以写出很多算式，包括一些特殊的例子，于是学生认为发现的规律成立，加之举不出反例，因此证明存在加法交换律。

举不出反例，并不能说明规律一定成立。有学生会说：“举不出反例，有可能是我们现在实力不够。”甚而有个别学生在大家都举不出反例之时，用尽课堂剩下的时间去不断地挑战反例，而不理会教师接下来的课堂教学。

于是顺势驻足“用自己的方式说明交换两个加数的位置，和不变”，学生不但能沟通加法的意义与计算法则的同一性，而且深切领会了特殊与一般的辩证关系。学生在你来我往的对话思辨中，理解了加法的交换律是一个系统工程。下面的课堂实录，正好可作为保罗·拉克哈特的注释：“对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出各自令人满意而又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界，令人着迷、充满趣味。”[2]

生1：3+4指在3后面继续数4个，4+3指在4后面继续数3个，“3后面继续数4个”与“4后面继续数3个”一一对应，所以3+4=4+3。

生2：我的左手有3个气球，右手有4个气球，左手的3个加右手的4个等于一共的气球数;我右手的4个加左手的3个等于一共的气球数。所以说3+4=4+3，因为这两个加法算式表示的都是我手上一共的气球数。

生3：我上衣左边口袋里装了3粒糖果，右边口袋里装了4粒糖果，脱下衣服反穿，左边口袋里变成了4粒糖果，右边口袋里变成了3粒糖果，3+4和4+3都表示我口袋里的糖果数量，所以说交换两个加数的位置，和不变。

生4：3补上1，4去掉1，这样3+4就相当于交换了位置，变成了4+3，而且由于同时加1和减1，大小不变。

生5：画如下线段图，交换长短线段，即交换两个加数的位置。交换之后，比较总长度，总长不变，便说明交换两个加数的位置，和不变。

学生喜欢探究原委，学习数学是探求真相的最好方式。所以，驻足于学生的好奇点，将知识前后关联，将思想方法与基本技能对接，便开拓了智力与情趣的最大疆域。的确，“学习的过程是一段从观念走向理解再走向建构，并继续往前走的旅程。”[3]生5的线段图不但揭示出了数画成图后，更加直观、易于理解，而且一样可以解释前面4位同学的表述，并超越算式3+4=4+3，达到一般性概括：a+b=b+a。

二、抽身，百尺竿头立

（一）独上高楼——自觉

【教学案例3】水龙头放水问题

“放满一浴缸水，甲水龙头单独放需要30分钟放满，乙水龙头单独放需要60分钟放满。两个水龙头同时放水，需要多少分钟放满？”这种工程问题至少要到六年级才学习，一般的解法是1÷（[130]+[160]）=20（分钟）。而二年级的学生一样可以在解构中创造属于自己的数学理解。

自阿尔法战胜柯洁后，机器人小冰也出版了第一本诗集，显然未来已来。如果我们小学数学课堂仅仅局限于数学知识的传承，解题技能技巧的训练，而不发展学生的思维，无疑，学生的“脑”迟早会被机器人所取代。重新检视布鲁纳的教导：任何知识都可以用适当的方式教给任何阶段的儿童。[4]我们在教学中要放弃所谓的支架，可以直接以挑战性的“思”驱动学生倾其所能，以当下的简单收获今后的复杂。

二年级的学生告诉我：可以画一排相连通的浴缸，同时打开甲、乙两个水龙头放60分钟水，由于“甲水龙头单独放需要30分钟放满”，那么60分钟可以放满2个浴缸。加上“乙水龙头60分钟放满1个浴缸”，这样，60分钟里，甲、乙两个水龙头同时打开，就放满了2+1=3个浴缸。自然，同时打开甲、乙两个水龙头，放满1个浴缸只需要20分钟，因为20+20+20就等于60。

如果我们和二年级的学生讲工作量、工作效率，无异于拔苗助长，所以教师要抽身退到教的后面，不用工程问题的模型去套路解决问题，而是让学生用自己的方式思索题目间的数量关系。这样的思考就成了“诗”——自然，灵性，无拘无束，却又拥有足够的想象力。

（二）无言凭栏意——自许

【教学案例4】金字塔上的数字

埃及古金字塔前的一块墓碑上，有一个用象形文字雕刻的数字。这个数字，增添了金字塔的神秘色彩，更引发了数学界的大探讨，这个数字便是：2520。瑞士钟表匠布克曾大胆推断：“金字塔这么浩大的工程，被建造得那么精细，各个环节被衔接得那么天衣无缝，建造者必定是一批怀有虔诚之心的自由人。”于是，课堂里学生讨论着自由人写下的2520的谜底，有的说：这是埃及人告诫我们，人类的世界末日是2520年。有的说：2520，即爱我爱你，是古代中国文明与埃及文明的交融。有的说：可能表示墓主人的生辰。

这样的课堂，要么很容易上成非数学课，要么教师用一己之力告知学生2520的由来。但学生终究是浅尝辄止，不能感受数字的魅力。所以笔者提醒学生用数学的眼光去解读这个数字之后，任凭学生信马由缰地进行数学冒险。因为一旦用数学的眼光聚焦，逻辑推理、数学运算就是必然的解释工具，也只有学生面对陌生问题，立即想到运用逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等关键能力去破解生活密码，我们才可以说学生拥有了一定的数学素养。

当学生把2520分解质因数，我们就顿悟了思维的力量，2520=2×2×2×3×3×5×7，看2520的因数有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……并且2520是这前十个因数的最小公倍数。原来，古埃及人在茶余饭后，进行着智力游戏，探讨着数学最本质的元素：质数。由此也确实可见布克的推断是正确的，这是一批有著自由思想的人，这是一批有着诗人气质的建设者。

学生解码了2520，是用自己的才智发现的而不是教师告诉的，自然钦佩古埃及人的智慧，更感受到数学的惊艳。数学在这里，已经超越了计算，而成了智力空间的码尺。

（三）寻他千百度——自在

【教学案例5】交换律

在案例2的教学中，学生用自己的逻辑确信了加法存在着交换律，但是除了加法，还有减法、乘法、除法，学生应能运用所学，迁移解决其他运算中是否存在着交换律。

根据教材的编排顺序，一般地在教学加法交换律之后，会接着教学加法结合律，之后会再用一课时研究乘法交换律。至于减法、除法是否存在交换律，教材是不作探究的。但是，学生通过所学，不但明白了加法存在着交换律，还会运用一定的策略、方法证明其为什么存在。这时不如推波助澜，让学生自问自答：减法有交换律吗？乘法、除法呢？理由呢？

学生发现，尽管举例不能说明加法、乘法一定存在着交换律，但是只要举出一个反例，例如4-3不等于3-4，6÷3不等于3÷6，就足以说明减法、除法没有交换律。

学生进一步说理，如加法，举例只能提出猜想，无法证明，那么就需要数形结合。如右图，横着数▼是3个4，竖着数▼是4个3，但总数不变;改变数字，道理一样，概括起来就是a×b=b×a。

这时，教师再一次抽身，让学生回忆课堂里解决了一些什么问题，是如何推理的，把它们关联起来，于是就有了下图。这样，学生从单纯的加法，结构化到了整个四则运算，并且能从异同两个方面去分析。在心理学上，这个过程称之为“压缩”：围绕一个概念一步一步地研究了很长时间，采取了多种途径，而你一旦真正理解了它，那就会在认知上产生巨大的压缩。这时候，你就可以把它放在一边，并在需要的时候很容易联想起它，使它成为其他认知过程中简单的一步。这种由压缩而产生的洞察力，正是学习数学的乐趣之一。

综上五个案例分析，在数学课堂里的每一次驻足都是为了抽身。教师抽身于数学概念的摸索之外，学生便可以开拓自己的数学疆土，正是用思维去领悟数学之魅，学生也就从生物头脑发展到数学头脑。再之，抽身是为了更好的驻足，帮助学生驻足于思维的困顿，驻足于经验与理性的冲突，学生感受着数学的美，不仅是外在的形式，更源于思想的深刻。这样，学生在课堂上或明或暗地亲历着：“这就是数学——想知道、游戏、用自己的想象力来娱乐自己。”[5]而这，也正是诗意数学课堂的内涵。

参考文献：

[1]]陈六一.诗意教育：基于科学知识论的反思[J].教育与教学研究，2018（1）：29-30.

[2][5]保罗·拉克哈特.一个数学家的叹息[M].高翠霜，译.台北：经济新潮社，2013：17.

[3]John Hattie.可见的学习[M].彭正梅，邓莉，等，译.北京：教育科学出版社，2015：28-36.

[4]杰罗姆·布鲁纳.布鲁纳教育文化观[M].宋文里，黄小鹏，等，译.北京：首都师范大学出版社，2011：211.

（江苏省南京师范大学苏州实验学校   215011）