同心球壳-球体系感应磁场的解析解

杜豫冬，朱武兵，韩海东，徐 楠，刘月林



同心球壳-球体系感应磁场的解析解

杜豫冬1，朱武兵1，韩海东1，徐 楠1，刘月林2

（1. 中国人民解放军31011部队，北京 100089；2. 海军工程大学电气工程学院，武汉 430033）

考虑薄壳体和非薄壳体结构的感应磁场可提高舰艇感应磁场数值建模精度，开发相应的磁场数值程序包时，磁场解析解模型是验证程序包数值准确性的有效手段。同心球壳-球体系模型是验证同时考虑薄壳体和非薄壳体感应磁场数值准确性的理想模型。基于分离变量法推导了该模型感应磁场的解析解，以积分方程法和有限元法为参照，解析解误差均在5%以内，表明了导出解析解表达式的准确性。

舰艇 感应磁场 解析解 分离变量法 同心球壳-球体系模型

0 引言

舰艇磁场使得其更容易暴露于磁性兵器（鱼水雷、反潜航空器）的威胁中，舰艇磁隐身水平对于舰艇安全力和战斗力尤为重要[1-3]。磁隐身技术水平主要由磁场预测水平和消磁系统优化设计水平决定。消磁勤务中，磁场预测及消磁系统的优化设计均是基于磁场实际测量数据展开。对于正在设计或建造的舰艇，采用数值方法获取磁场仿真数据用于磁场预测和消磁系统优化设计研究是切实可行、便捷的方法。即便对于已经服役舰艇，舰艇磁场数值模型对于磁场的预测和消磁系统的优化设计也具有十分重要的参考意义。舰艇磁场数值建模方法主要包括有限元法[4,5]、积分方程法[6,7]、边界元法[8]。在开发各类数值程序包时，通常希望采用感应磁场具有解析解的模型验证程序计算准确性。文献[9]推导了实心和空心铁磁球体的感应磁场解析解，已有效应用于验证有限元法、积分方程法、边界元法感应磁场数值程序的准确性。

对于实际舰艇，其铁磁结构可分为两类：一类是薄壁结构，主要包括舰艇外壳、舱壁等；另一类是非薄壁结构，主要是一些大型舰载设备，比如大型吊车等。感应磁场建模需同时考虑薄壁结构和非薄壁结构对感应磁场的影响，开发一种同时可考虑两种结构感应磁场的数值程序包显得尤为必要。因此需相应地推导适用于验证同时考虑薄壁和非薄壁结构感应磁场数值程序准确性模型的解析解。同心球壳-球体系模型（即实心球体外套一个同心球壳体）感应磁场解析解模型非常适用于验证感应磁场数值程序，本文基于分离变量法推导该模型感应磁场的解析解。

1 问题的描述

图1 垂向激励场作用下的球体‑球壳体模型

在激励磁场的作用下，四个分区均存在感应磁场，本文推导各分区感应磁场解析解表达式。

2 各区域感应磁场的解析解

根据边界条件与参考磁位条件，借鉴空心球壳附加磁场解析解推导的相关结论[9]，各区域磁位可表示为：

式中：

2.1 V1区磁场解析解（实心球内）

2.2 V2区磁场解析解（空气间隙）

2.3 V3区磁场解析解（铁壳层内）

2.4 V4区磁场解析解（外部空气空间）

3 验证与分析

3.1 验证算例

分别以积分方程法和有限元数值结果为参照，磁感应强度各分量的误差分析见表1，其中XZ分量（X的含义为分量激励引起的附加磁感应强度的分量，Y和Z的物理含义类似）采用平均相对误差（，定义见式(15)）为评估指标，解析解为0，以最大绝对误差考察数值误差。可看出，和的平均相对误差在4.5%以内，的最大绝对误差在5 nT以内，表明了模型感应磁场解析求解的准确性。

表1 实验算例误差分析

3.2 球壳体对内部球体磁场的屏蔽系数

其中，实心球体模型和同心球壳-球体系模型中的实心球体部分坐标系、尺寸和磁性参数均相同。

4 结论

为便于验证同时考虑薄壳体和非薄壳体感应磁场数值程序包计算准确性，基于分量变量法推导了同心球壳-球体系模型感应磁场的解析解。具体模型算例的有限元和积分方法结果检验了所推导的解析解表达式的准确性。同心球壳-球体系模型和实心球体、球壳体模型组成了验证舰艇磁场数值计算精度的系列标准模型，对于舰艇磁场数值研究具有重要意义。

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Analytical Solution of the Induced Magnetic Field of Concentric Shell Sphere and Solid Sphere System

Du Yudong1, Zhu Wubing1, Han Haidong1, Xu Nan1, Liu Yuelin2

(1. PLA 31011, Beijing 100089, China; 2. College of Electrical Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

O441.3

A

1003-4862（2019）05-0039-03

2018-10-16

国家自然科学基金资助项目（41476087）

杜豫冬（1978-），男，高级工程师。研究方向：指挥自动化监控技术与电磁环境监测技术。E-mail: 13488661081@139.com

朱武兵（1989-），男，博士。研究方向：电磁环境与防护技术。E-mail: beonlyzwb@163.com