中、低阶煤的煤层气吸附极大值的数学分析

郝静远 李 东 马青华 张学梅

(西安思源学院能源及化工大数据中心，陕西 710038)

在温度压力共同作用下，煤层吸附气含量会出现极大值。大家熟悉的示意图包括有机质吸附甲烷气模型图(图1)和煤阶吸附气量变化图(图2)。

图1 有机质吸附甲烷气模型图

图1和图2表示对于不同煤阶的煤岩，其吸附量会随埋深的增加一开始上升，达到一个极大值后会随着埋深的进一步增加而下降。从图2中还看出对于阜康、韩城这些较大镜质组反射率的高阶煤有十分明显极值，而对于新疆的五彩湾、老君庙这些较小镜质组反射率的低阶煤煤岩的极值却不明显。本文将试图解释能否有一个温度-压力-吸附方程能从数学上解释为什么煤层气吸附量会出现极大值及出现极大值的必要条件和必要且充分条件。同时通过不同煤阶的吸附数据来比较中、低阶煤的吸附极值以及各自的变化趋势。

图2 不同煤阶吸附气量-埋深关系图

1 温度-压力-吸附方程(TPAE)形式及参数计算

1.1 方程形式

一个四参数的温度-压力-吸附方程(Temperature-Pressure-Adsorption-Equation, TPAE)可以写成：

(1)

式中：A为吸附介质的几何形体常数，无量纲；B为吸附流量系数，无量纲；M为分子量，甲烷的分子量为16；P为测试时的压力，MPa；T为测试时的热力学温度，K；V为吸附量，m3/T；b为压力影响的参数，无量纲；Δ为温度影响的参数，K。

1.2 吸附数据与参数计算

本文引用的吸附数据分别是东北辽宁抚顺煤田西露天矿第三系本层煤(抚顺F2)、西北新疆吐哈盆地艾维尔沟矿侏罗系5号煤(吐哈A8)、和华东安徽淮北煤田朔里矿二叠系3煤层(淮北S3)。进行系列等温吸附实验的温度和相应的兰氏参数列于表1。

表1 吸附煤的种类、性质、温度和兰氏参数

表2 根据表1的兰氏体积和兰氏方程参数回归得TPAE参数

图3到图5分别画出三种煤的实测点(根据表1兰氏参数计算值)与TPAE曲面。因为测试温度是30℃、50℃、和70℃，所以每种煤样的实测点为三排。看不见的实测点是隐藏在曲面以下。换句话说，TPAE曲面将一些实测点覆盖，所以从成图的曲面角度是看不见。

图3 辽宁抚顺煤样的实测点与TPAE回归曲面

图4 新疆吐哈煤样的实测点与TPAE回归曲面

图5 安徽淮北煤样的实测点与TPAE回归曲面

从表2的相对平均误差的大小以及图3、图4、图5点与曲面的吻合得出温度-压力-吸附方程可以精确的表示系列等温吸附实验。

2 TPAE的偏导数和全微分

如果A值相对较小而被忽略，则TPAE(方程1)简化为：

(2)

若V=f(T,P)的各一阶偏导数都存在且连续，则

(3)

式中

(3-1)

(3-2)

方程3是变温度和变压力对吸附量变化的共同影响的数学表达式，也是方程2的全微分。基于方程组(3-1、3-2)还可以做以下数学推论：

根据方程3-1，等压变温条件下，吸附量的变化既有大小更有方向。如果Δ>T，方程的右边小于零，等压条件下吸附量的变化受温度变化负影响；

根据方程3-2，在等温变压条件下，吸附量的变化只有大小和正方向，吸附压力对煤的吸附能力永远起着正影响；

因此只有吸附量的变化受温度变化的负影响存在且大于受压力变化的正影响时，会出现煤层气吸附极大值。这就是煤层气吸附极大值出现的必要条件。

3 计算煤层气吸附极大值

如果在变温变压条件下吸附量出现极大值，那么表现其函数关系的方程一阶全微分必须等于零，即：

(4)

方程中的温度变量dT和压力变量dP可以用地温梯度和地压梯度的耦合关系来解决。假设每钻深一百米温度梯度为3℃和压力梯度1MPa，对于增加100m埋深，下面等式成立：

dP=1MPa/hm=dT=3K/hm

如果地面平均温度为15℃，表示绝对温度与压力的数学关系为T=288+3P,方程4则变为一个求压力P的一元二次方程：

aP2+bP+c=0

(5)

这样一个标准的一元二次方程有两个实数解的必要且充分条件是：

b2-4ac>0

(6)

将列于表2中东北辽宁抚顺煤田抚顺F2、西北新疆吐哈盆地吐哈A8、和华东安徽淮北煤田淮北S3的相应参数、地温梯度3℃/hm和地压梯度1MPa/hm代入计算吸附极大值的压力与温度，并将计算的温度压力换算回埋深，所得结果列于表3。这三种不同煤阶吸附气量随埋深的变化规律也可以用图6显示。

表3 煤的种类、性能、TPAE参数和出现吸附极大值的温度与压力

图6 三种不同煤阶吸附气量随埋深变化规律

如上所述，在计算煤层气吸附极大值时，使用地温梯度、地压梯度、地面温度的三个假设值。而在任何一个地质勘探中，都会测得实际的地温梯度、地压梯度和地面温度。因此当这些数值改变时，会得出不同的结果。而且如果能将煤层气吸附极大值与深部地应力转换的相关性结合在一起研究将是很有意义。

虽然三个不同煤阶的煤样都出现煤层气吸附极大值现象，但各自出现的深度却不同，而且各自极值出现前的变化趋势以及极值出现后的变化趋势也不同。从现有的三个煤样的数据看，有较小的最大镜质组反射率的低阶煤(抚顺煤、吐哈煤)在较深的位置出现煤层气吸附极大值；而有较大的最大镜质组反射率的中阶煤(淮北煤)却在较浅的位置出现煤层气吸附极大值。因此煤阶不仅影响吸附量，还影响吸附极大值。但仅用三组数据还不能得出变化趋势，所以有待于进一步加大数据库。

4 结论

TPAE是一个含四个参数的温度、压力、吸附方程；其参数可以通过系列等温吸附或变温变压吸附的实测数据回归得到。

TPAE的偏导数和全微分说明当受温度变化的负影响存在并大于受压力变化的正影响时，煤层气吸附极大值会出现。利用等深来表示温度变化dT和压力变化dP，可以得到一元二次方程；出现吸附气含量极大值的必要且充分条件是该一元二次方程的判别式大于零。按每钻深一百米温度增加3℃和压力增加1MPa，和假设地面平均温度为15℃，计算东北辽宁抚顺煤田抚顺F2煤层气吸附极大值出现在1143m、西北新疆吐哈盆地吐哈A8煤层气吸附极大值出现在1153m、和华东安徽淮北煤田淮北S3煤层气吸附极大值出现在640m。