无偏GM(1,1)-马尔科夫组合模型对车辆周转器材需求量的预测

徐庶博，袁建松，张大鹏

（1.陆军军事交通学院 学员五大队，天津 300161；2.31695部队技术维护室，山东 青岛 266200；2.陆军军事交通学院 投送装备保障系，天津 300161）

1 引言

目前，部队车辆装备更新换代、配发报废速率持续加快，器材消耗也随整体趋势变化。车辆周转器材需求具有显著波动性及随机性，由于车辆周转器材种类繁多，实际需求基本依靠经验，结合部队大项任务及历史消耗情况，由基层填报申领计划，逐级审核批准。这种经验型粗放式装备保障显然同新时期我军精细化保障要求不相适应，周转器材库存积压问题突出。这些客观因素为准确预测车辆周转器材需求量增加了较大难度，也对科学预测提出更高的要求。

传统GM（1,1）灰色模型对于小样本、贫信息、不确定系统具有较精确预测结果[1]，但由于其不具有白指数率重合性，在预测过程中对原始数据序列成指数规律变化，且变化速度不是很快的场合，较曲线回归模型具有偏差[2]，甚至在发展系数绝对值较大时传统GM（1,1）模型将失效。车辆器材失效率符合白指数率，故器材消耗成指数分布，周转器材实际需求量也就相应具有白指数率，传统GM（1,1）模型预测误差较大，存在震荡波动及线性拟合程度不理想等情况，本文所采用的无偏灰色马尔科夫组合模型，是在传统GM(1,1)模型基础上，建立具有白指数率的无偏差模型，并结合马尔科夫模型（Markov Modelling）在预测离散、随机、波动大的事件上的优势，对无偏灰色模型残差进行修正，较好的消除了传统GM（1,1）模型的固有偏差与不完善性，提高了预测精度[3]，并在实际周转器材需求预测实验中取得了较好的效果。

2 无偏GM（1,1）模型的概述与构建

2.1 传统GM（1,1）模型偏差分析

传统GM（1,1）模型属于有偏差指数模型，其建模步骤如下：

通过对原始非负数据序列：

X(0)(k)=（X(0)(1)，X(0)(2)，···,X(0)(n))，X(0)(k)≥0，k=1,2,···,n，进行一次累加生成，得到:

则GM(1,1)模型的微分方程为：

利用最小二乘法，求解参数向量。解得：

求解微分方程，即得灰色预测的离散时间响应方程：

对所求得的累加预测值作一次累减还：

将（4）带入（5）中，可知：

其中，为发展系数，为灰作用量。

对于原始非负数据序列，我们假设其为严格的指数序列，设为：

按照传统GM（1,1）模型求解，解为：

比较（6）式和（8）式，我们知道，传统的GM（1,1）模型在对指数序列建模时总存在偏差。

2.2 无偏GM(1,1)模型的构建

（1）参照传统GM（1,1）建模方法，求解参数向量：

由（9）式，可得：

a=，由此，传统GM(1,1)模型中的参数,,可用参数a,A表示。

（2）对指数序列建立无偏差模型，并参照传统GM(1,1),模型建立无偏差GM(1,1)模型，求得无偏GM(1,1)模型参数：

（3）得到无偏灰色GM（1,1）模型：

（4）对无偏GM(1,1)模型进行校验。校验方法与传统GM（1,1）模型相同，残差计算公式：

相对误差求解公式：

则平均误差与平均精度为：

计算均方差比C，原始数据的方差为：

残差方差为：

均方差比值：

所得均方差比值，可参照表1，检验判断模型是否符合精度要求。

表1 精度等级参照表

与传统GM(1,1)模型相比较，无偏GM(1,1)模型消除了固有偏差，较之应用更为广泛，也提高了预测精度。

3 马尔科夫（Markov Modelling）预测模型概述

马尔科夫预测是通过各种随机因素的影响程度，以及各种状态之间的转移规律，来预测系统未来的发展方向[4]。

（1）状态划分。设Δi=[ai,bi],(i=1,2,...,s)，ai,bi为状态上下界；

（2）求初始概率。设有Δ1,Δ2,Δ3,...,Δs共s个状态，在观察M次中，任意状态Δi出现Mi次，则：

（3）求状态转移概率，建立n步状态转移概率矩阵。

Δi→Δj的一步转移概率：

其中Mij为从Mi个Δi出发，经一步，转移到Δj的个数；

固Δi→Δj的n步状态转移概率近似值：

其中Mij(n)为从Mi个Δi出发，经n步，转移到Δj的个数。

建立n步状态转移概率矩阵：

（4）预测求解。根据最大概率，当：

max{Pi1,Pi2,...,Pis}=Pik时，可预测下一步系统将向Δk转移。

4 基于马尔科夫（Markov Modelling）对无偏GM（1,1）模型的相对误差修正

将马尔科夫链模型引入无偏GM（1,1）模型，并对其残差进行修正，正是充分发挥马尔科夫模型在预测离散、随机、波动大的事件上的优势，弥补灰色预测模型的不足的思想，对原有预测模型的补充与完善。具体方法及步骤：

（1）求解相对误差：由式（12）、（13）计算无偏GM（1,1）模型预测值与原始数据非负序列的相对误差值；

（2）对相对误差进行状态划分：

（3）求解状态转移矩阵概率并建立状态转移矩阵P(n)；

（4）求解无偏GM（1,1）模型预测中值：

根据相对误差状态划分上下边界，确定预测区间，并求得预测中值：

（5）结合状态概率，对无偏GM(1,1)模型的预测值进行修正。

5 实例验证

本文结合北部战区某集团军主力运输车CA1125的起动机为研究对象。以2009年至2017年需求数据，作为原始样本，见表2，建立模型，并以最后2017年数据为检验。

表2 某JTJ运输车XXX的起动机消耗量历史数据（个）

（1）建立两种灰色预测模型，并比较结果。首先运用传统GM（1,1）模型对需求量进行预测(由于结果具有实际意义，结果按四舍五入取整)，并将实际消耗量与预测值进行对比，计算误差；再构建无偏GM（1,1）模型，做同样本预测，并进行对比，计算误差。所得计算结果见表3。

表3 某JTJ运输车X的起动机消耗量预测结果及误差

（2）对无偏GM(1,1)模型进行校验。由2.2节中对无偏GM(1,1)模型进行校验的部分方法及公式可知，传统GM（1,1）模型和无偏GM（1,1）模型的平均残差为1.45%和1.17%，平均精度为98.55%和98.83%。

（3）基于马尔科夫的相对误差修正。对表3中2009年-2016年无偏GM（1,1）预测值相对误差划分三个状态，即-3%～-1.5%为状态1，-1.5%～0为状态2,0～1.5%为状态3.由此，即得到某集团军运输车CA1125的起动机消耗量预测结果与实际值的误差转移情况，见表4。

表4 起动机消耗无偏预测相对误差马尔科夫状态转移情况

由表4求得一步状态转移矩阵：

2017年起动机消耗量无偏GM（1,1）预测值相对误差马尔科夫状态转移概率为：

表5 2017年预测值相对误差马尔科夫状态转移概率

则对2017年无偏灰色模型预测值进行修正，所得结果见表6。

表6 2017年无偏灰色预测值马尔科夫修正结果

通过比较可知无偏灰色-马尔科夫组合模型能很好地提升预测精度。

6 结语

通过构建无偏灰色-马尔科夫组合模型，利用无偏灰色模型对指数分布数据预测优势，并结合马尔科夫模型特点，对预测值进行修正，既考虑了周转器材的指数分布特点，又考虑了实际器材需求中离散、随机、波动大等特点，提升了车辆周转器材需求量预测精度，对于部队车辆器材需求预测工作具有参考意义。