刚度矩阵和质量矩阵在民用飞机振动分析中的应用和验证

任永锋，严 玲，于江成

（上海飞机设计研究院，上海 201210）

0 引言

民用飞机机载设备数以万计，接口界面多。如何准确定义边界条件，对机载设备或者子结构进行准确的强度分析，尤其是振动分析，至关重要。

采用主结构模型进行连接分析最为准确，但由于飞机模型大，单元数量多，将飞机模型作为子结构强度计算模型导致计算模型庞大，且对分析设备要求高，耗时长[1]。另外，由于民机设计的界面分工问题，无法将主结构模型提供给机载设备供应商。虽然可以使用静刚度和动刚度的分析方法提供界面刚度，但对于界面点多，边界点自由度多的情况，提取过程繁琐，且对于使用者而言，需要重新恢复刚度进行建模，导致易出错，并且丧失了界面质量信息。因此，对于民用飞机多界面连接结构而言，如何准确提供界面的刚度矩阵和质量矩阵意义重大。

为解决复杂结构求解问题，20世纪60年代，Hurty提出了模态综合的思想[2]，后经过Craig和Bampton的完善[3]，模态综合法被逐步应用到工程计算中，形成了具有工程意义的子结构模态综合法。90年代初，陈国平等将超单元法引入工程应用中，介绍了超单元内部的自由度缩减过程，并通过算例验证了超单元法的精度[4]。超单元法可以缩减系统自由度，节省了计算时间，提高了计算能力[5]。

本文阐述了模态综合超单元法基本原理，通过该方法计算得到了质量矩阵和刚度矩阵，并对子结构进行了模态分析，并和机体结构的分析结果、试验结果进行了比较，验证了该方法的正确性和可靠性。

1 模态综合超单元法基本原理[6]

固定界面模态综合法（CMS），即Craig-Bampton方法原理如下[3]：选择适当的界面，将整个系统或结构分割成若干个子结构或部件。固定界面是假设子结构的界面全部被约束固定，通过界面坐标协调子结构之间的位移信息。模态综合超单元法引入了基于精确动力缩聚的变换矩阵，能够得到精度很好的系统动力学方程[6]。

将超单元的节点自由度分为边界节点自由度B集和O集，从而超单元的质量矩阵和刚度矩阵可以表示为：

式中，[Mff]和[Kff]分别为超单元的质量矩阵和刚度矩阵。

式中，[Koo]和[Moo]分别为超单元的刚度矩阵和质量和{φoo}分别为超单元边界固定时的特征值和特征向量。

计算超单元的约束模态，即在单位边界位移作用下的变形：

得到：

超单元在边界约束下的模态可表示为：

超单元假设模态由主模态和约束模态组成：

缩减后的超单元质量和刚度矩阵可为：

式中，[Maa]和[Kaa]分别为超单元的广义质量矩阵和广义刚度矩阵。

把超单元矩阵组装到剩余结构上，得到整个结构的缩减矩阵方程，进而得到其动力学平衡方程，对总体结构进行求解[8]。

由于固定界面模态综合法保留了所有的边界自由度，所以收敛性好，计算精度高。在工程应用中可以通过减少子结构数目、减少对连接界面的复杂程度或采用分层多重动态子结构的方法来减少连接界面的对接自由度[9]，以实现准确而高效的缩减计算[6]。

2 模态综合超单元法提取质量刚度阵

2.1 民用飞机某型连接结构介绍

民用飞行某型连接结构装配如图1所示，设备与主结构有3个连接点，分别是Point 1、Point 2和Point 3，连接结构如图2所示。Point 3为单双耳连接，Point 1和Point 2通过一中心销轴连接。

图1 连接装配图

图2 连接结构

2.2 有限元提取质量矩阵和刚度矩阵

图1所示的结构分解为图2所示的子结构以及剩余结构，对子结构的主要几何模型，采用hypermesh软件建立有限元模型，3个连接点建立rb2单元，分别建立相应的局部坐标系，具体的有限元分析模型如图3所示。

在使用模态综合超单元法提取刚度矩阵和质量矩阵动刚度时，在整体bdf有限元模型文件的Bulk Data Cards中加入一张参数卡：

PARAM, EXTOUT, DMIGPCH

另外，在整体bdf有限元模型文件的Bulk Data Cards中定义aset1 卡，以给出边界点号及自由度。

ASET1，dof-num，node-num

其中，dof-num为自由度，node-num为节点编号。例如，

ASET1 123456 316805 356803 356806

通过Nastran软件进行计算，生成的*.pch文件，即为刚度矩阵、质量矩阵和广义坐标矩阵。

图3 结构有限元模型

3 质量和刚度矩阵的使用及分析验证

3.1 质量矩阵和刚度矩阵在分析中的使用

对于剩余的结构进行有限元建模分析，有限元模型如图4所示。由于只对剩余结构进行分析，因此模型相对于整体模型而言，不论是分析的规模还是分析效率都将明显提升。

图4 剩余结构模型

在剩余结构模型的bdf文件SUBCASE中加入如下语句，来引用刚度和质量矩阵：

在bulk data卡中引用通过计算生成的包含边界刚度矩阵和质量矩阵的pch文件：

BEGIN BULK

include '*.pch '

在模型中引用刚度矩阵和质量矩阵时注意以下几点：

1）子模型中计算生成刚度和质量矩阵的边界节点和剩余结构模型中边界节点的节点编号必须一致；

2）子模型边界节点和剩余结构模型边界节点的坐标系必须一致；

3）引用的刚度和质量矩阵文件名称必须和同文件夹内的真实文件名保持一致。

3.2 质量矩阵和刚度矩阵验证

对剩余结构模型和整体结构模型使用Nastran的103求解器进行模态分析，前四阶模态对比结果如表1所示。

表1 模态分析结果对比

一阶模态结果如图5、图6所示。

图5 整体结构一阶频率

图6 剩余结构一阶频率

通过以上对比看出，采用模态综合超单元法提取的刚度矩阵和质量矩阵可以较准确的代替子结构，并用于代替子结构进行剩余结构分析，模态分析结果误差在1%以内。

4 质量和刚度矩阵的使用及试验验证

上述子结构作为民用飞机某安装结构，安装某民用飞机设备（类似图5，但非图5），然后对机上该设备采用锤击法进行模态试验。在该设备上安装三向加速度传感器，并运用模态参数识别方法识别该结构的频率、阻尼和阵型，1阶阵型如图7所示。

图7 一阶模态阵型和频率

然后对使用子结构刚度和质量矩阵的设备模型进行模态分析，最终分析和试验的模态对比结果如表2所示。

表2 模态试验结果对比

通过以上对比可以看出，

1）低阶频率虽然偏差16.7%，但是实际上仅相差3Hz，考虑到模态试验本身存在的误差因素，分析结果已经较为准确。

2）对于其他频率而言，采用模态综合超单元法提取的刚度矩阵和质量矩阵可以较准确的代替子结构，并可用于代替子结构进行剩余结构的分析，和模态试验结果误差在5%以内，吻合度极高。

另外，对于偏差，原因可能来自：理论和实际本身有差异，连接条件理想化[10]，试验中存在不确定因素等。

5 结论

本文详细介绍了模态综合超单元法和有限元分析提取和使用刚度和质量矩阵的方法，并对民用飞机某安装结构进行了分析验证，且通过锤击法进行了模态试验，进行了试验验证。得到结论如下：

1）采用模态综合超单元法提取的刚度矩阵和质量矩阵可以较准确的代替子结构，并可用于代替子结构进行剩余结构的分析，模态分析结果误差在1%以内。

2）使用模态综合超单元分析方法提取得到的刚度和质量矩阵的模态分析结果和模态试验结果误差在5%以内，分析结果准确而有效。

3）使用模态分析超单元法可以减小分析模型大小，快速高效的进行强度分析和计算。

4）该方法可以用于其他多结构的连接分析中，对于民用飞机多界面问题而言是一个极其简便且有效的方式。