非线性影响下悬置系统模态分析及解耦度计算方法研究*

胡金芳，高东阳，朱冬东

（合肥工业大学汽车与交通工程学院，合肥 230009）

前言

液压悬置作为先进的隔振元件，因其具有良好的幅频特性，广泛应用于汽车的隔振系统中。在发动机怠速或车辆行驶过程中，当悬置系统受到低频、大振幅激励时，液压悬置的惯性通道部分会产生较大的阻尼效应，以衰减由低频、大振幅激励所引起的车身振动；当悬置系统受到高频、低幅激励时，液压悬置所具有的低刚度、小阻尼特性可有效降低车内噪声，提高车辆的舒适性。

目前，对于液压悬置，现有文献大多是关于单个悬置元件的工作原理（结构设计和性能研究）［1-3］，而结合实际的动力装置振动来研究液压悬置系统的特性，尤其是模态类型和解耦优化仅有少量报道。文献［4］中分别从传递函数法和机械模型法出发建立了动力总成液压悬置系统的分析模型，研究了液压悬置的频变特性对动力总成悬置系统模态和TRA解耦的影响。文献［5］中通过增加振动系统的自由度，扩展了动力总成液压悬置系统的模型，通过建立时域运动方程，对考虑频变特性的悬置系统进行模态分析和解耦优化研究。文献［6］中考虑悬置系统的频变特性建立了动力总成悬置系统的振动模型，提出一种拉普拉斯域分析方法来计算动力总成液压悬置系统的固有特性。然而，液压悬置具有很强的非线性，文献［7］中建立了液压悬置的非线性集中参数模型并提出了模型参数的识别方法。文献［8］和文献［9］中研究了激励幅值对液压悬置的影响，并通过实验推导出了液压悬置动刚度的非线性模型。文献［10］中利用AMESim仿真软件定性地对液压悬置幅变特性进行研究，说明了液压悬置内部参数的不同，特别是等效泵压面积和解耦盘面积的不同对其幅变特性的影响，文献［11］中建立了橡胶悬置和液压悬置的非线性模型，通过实验比较了两者在不同工况下的振动特性，以振动解耦率为优化目标，对动力总成悬置系统进行了优化设计。

由此可见，液压悬置除了具有频变特性，还具有很强的幅变特性。虽然应用线性动力学对动力总成悬置系统的振动机理研究已十分成熟，但悬置系统的线性特性不能充分表达液压悬置系统的非线性特性，不能满足工程设计与开发的需求，且线性振动理论中的叠加原理、频响函数和刚体动力学分析在非线性振动理论中已不再适用［12］。针对上述问题，并结合汽车在起动、制动减速和转弯时，发动机会产生较大振幅的实际情况，本文中以惯性通道式液压悬置为例，综合考虑液压悬置随频率和幅值变化的非线性特性，建立液压悬置系统的非线性模型，提出液压悬置系统模态和解耦度的计算方法，并利用该模型对不同激励振幅下的系统模态和解耦度展开深入研究。

1 动力总成液压悬置系统非线性模型的建立

1.1 液压悬置非线性模型的建立

液压悬置的集总参数模型如图1所示。图中：Kr和Br为橡胶主簧的刚度和阻尼，橡胶主簧在悬置工作时会产生形变，使液体在上、下液室间流动，用Ap（等效活塞面积）来表达其特性；p1（t）和 p2（t）分别为上液室和下液室的平均压力，对应的体积柔度为C1和C2；Ii和Ri分别为惯性通道中液体的质量惯性系数和流量阻尼系数；Id和Rd分别为解耦盘处液体的质量惯性系数和流量阻尼系数；Qi（t）和Qd（t）分别为惯性通道和解耦盘处液体的流量；X（t）为液压悬置主动端所受的激励；F（t）为悬置的传递力。

图1 惯性通道式液压悬置集总参数模型

悬置内部一般采用不可压缩乙二醇溶液作为工作介质，在标况下，假设上液室中存在气体体积Va和液体体积Vl，在整个振动过程温度保持不变，随着动力总成激励振幅x和频率的变化，上液室内部分气体会融入到混合溶液中，在系统受到激励时，上液室总体积变为

根据式（1）和 C1（x）=ΔV／Δp，得上液室体积柔度为

随振幅变化的函数。当悬置处于拉伸或压缩状态时，上液室内的液体体积减少或增加而出现的真空效应致使上液室刚度发生明显变化，假设在振动过程中除上液室体积柔度外其他参数均认为是常数。由于 k1（x）≪k2，忽略 k2的影响，在低频时，根据流体的动力学方程［6］并行拉氏变换得到具有随激励频率和激励振幅变化的非线性特性的液压悬置的动刚度：

式（2）的推导方法也同样适用于高频段［5］，上液室刚度k（s，x）可根据实验数据或经验参数拟合得出。

1.2 悬置系统非线性模型的建立

由于动力总成悬置系统的固有频率远低于其最低弹性模态的频率，可把动力总成系统和车架视为刚体，把悬置简化为3个方向正交的弹簧和阻尼器，每个方向包括刚度和阻尼参数，并将整个系统简化为空间6自由度系统，如图2所示，其中GO-XYZ为曲轴坐标系，原点GO位于动力总成静平衡的质心点，在每个悬置i处设置局部坐标系为ei-UiViWi。

图2 动力总成悬置系统动力学模型

根据式（2）将一般的动力学方程可改写为）

式中：M为广义质量矩阵；C为刚度矩阵；K（s，x）为广义复刚度矩阵。

2 非线性影响下的悬置系统模态和解耦度计算方法

2.1 模态计算方法

根据橡胶悬置的Kelvin-Voigt模型，其复刚度可表示为

对于液压悬置，其惯性通道内流体部分只在垂直方向表现出动特性，对应动刚度见式（2），则每个悬置在其局部坐标系中的动刚度可表示为

式中：ki，t（s，x）为悬置的平移动刚度；ki，r（s，xθ）为悬置绕3根主轴的转动的动刚度；xθ为动态转角，在动力总成系统中，悬置的转动动刚度对整个系统的特性影响较小，可以忽略。局部坐标系中悬置的平移动刚度 ki，t（s，x）可表示为

假设系统中有n个悬置，其中N个液压悬置，满足 N＋β=n（1≤β＜n），由旋量理论得其动刚度矩阵为

式中xi，N为惯性通道内流体的位移，可由式（13）确定。

2.2 解耦度计算方法

在一定的振幅下，虽然模态空间中具有不同的模态向量，但各阶模态基向量，即模态振型是不变的，根据模态振型的局部性［12］，取刚体部分的6阶模态，则系统在第ε个振幅下第j阶主振动时，对应的最大动能为

式中：I为单位矩阵；Di为悬置的坐标矩阵。对式（3）进行拉普拉斯变换得

则传递函数为

系统的极点，即系统在不同振幅下特征方程的根，由式（10）特征方程确定：

进一步，可根据式（10）求得 2（6＋N）个共轭的特征复根 λr和对应的特征向量｛ψ（x）｝r：

则对于采用了N个液压悬置的动力总成悬置系统，完整的系统特征向量Ur（x）为

式中：φε，j为在第 ε个振幅下系统的 j阶主振型；（φε，j）k为 φε，j的第 k个元素；mkl为广义质量矩阵的第k行第l列元素。则第k个广义坐标的能量为

则刚体部分的模态对应的能量百分比为

T0值越大，系统的解耦度越高，但在式（16）中并未考虑惯性通道内流体分量所占的能量，这将导致计算结果比实际偏大。

根据液压悬置的特性，在振动过程中，可将惯性通道内等效流体质量的转动惯量近似为0，且在系统垂向跳动时最大，则系统在第j阶振动时，液压悬置内流体分量所占的能量可表示为

式中（mi）q为第q个液压悬置惯性通道内的等效流体质量。结合式（16），进一步整理得到考虑惯性通道内流体分量的情况下各阶模态的能量解耦度：

式中：TR为考虑惯性通道内流体时刚体部分模态能量所占的百分比；TL为惯性通道内流体所占的能量百分比。0.999 9）得

表1 不同振幅下液压悬置各参数的测试值

结合式（2）与式（19）并参考表1的液压悬置相关参数，可拟合出液压悬置动刚度和滞后角曲线，并与实验数据进行对比，如图3所示。可知本文中所建立的非线性模型能较好地反映液压悬置动刚度和滞后角特性。

图3 动刚度和滞后角拟合曲线与试验值对比

3 实例分析

3.1 上液室刚度k1（x）的非线性拟合

由表1的试验数据［9］可知，液压悬置各参数随振幅的变化程度不同，其中上液室刚度k1变化最大，橡胶主簧阻尼Br次之，但在对悬置系统进行模态分析时，橡胶主簧刚度与阻尼在大小方面基本相差3个数量级，此时，上液室刚度占主要因素，因而可忽略阻尼变化的影响，这与本文1.1节中的假设一致。

根据以上分析，将液压悬置的幅变特性集中表现在上液室刚度中，采用指数拟合（相关系数为

进一步，拟合出液压悬置的动刚度随频率和振幅的变化规律，如图4（a）所示。可知在不同的激励振幅下液压悬置的动刚度曲线不同，动刚度的极大值随振幅递减且最大动刚度之间相差1 656.5 N·mm-1，其中在振幅为3 mm时的动刚度极小值仅为949.5 N·mm-1。并分析动刚度曲面在YOZ面的投影，可知激励频率在13 Hz以上，激励幅值对液压悬置的动刚度影响较大。

把动刚度曲面投影到XOY平面上并对极值加亮处理，如图4（b）所示，可知液压悬置动刚度的极大值对应频率随振幅的不同而不同，其变化范围在8 Hz左右。因此，上液室刚度的幅变特性不仅会影响到液压悬置动刚度的值，造成动刚度的极大值所对应频率偏移，还会进一步影响到系统模态。

图4 不同投影面下的液压悬置动刚度曲面

3.2 模态分析

动力总成悬置系统采用三点式布置，其中前左悬置和前右悬置为橡胶悬置，后悬置为液压悬置，橡胶悬置的阻尼系数为100 N·s／m，动力总成的总质量为 237.5 kg，转动惯量 Ixx，Iyy，Izz，Ixy，Iyz和 Ixz的值分别为 10.46，32.15，32.12，0.54，0.27，4.13 kg·m2。悬置采用垂直安装，其位置和各向刚度见表2。

表2 对应悬置的安装位置和刚度

根据式（10）算出的系统阻尼比和固有频率分别如表3和表4所示。由表可见：系统的第3阶、第4阶、第5阶和第7阶模态对应的参数随振幅变化较大，其他阶基本不变；从横向看不同振幅下第3阶都具有较大的阻尼比，可判定第3阶模态为液压悬置惯性通道内流体的运动模态；从纵向看第3阶阻尼比随振幅递增，这一现象与液压悬置在低频高幅振动时会产生较大阻尼的性质吻合，从这个角度亦可判断第3阶模态为液压悬置内流体的运动模态。

表3 不同振幅下的各阶阻尼比 %

表4 不同振幅下各阶系统固有频率 Hz

根据液压悬置的安装位置，在系统振动时，惯性通道内流体部分会与系统的垂向跳动和侧倾方向产生较强的耦合，随着激励振幅的变化，垂向跳动和侧倾方向上的模态特性随之改变。为了确定第5阶和第7阶的模态类型，提出以下2条参考依据。

（1）阻尼比的变化率 由于液压悬置的流体对垂直影响较大，则系统垂向的阻尼比随振幅的变化程度较大。由表3的结果可知，第5阶和第7阶的阻尼比变化率分别为49.01%和23.14%，参照这一标准可判定第5阶模态对应垂向跳动模态，第7阶模态对应侧倾模态。

（2）固有频率之间的相关度 随着动力总成激励振幅和频率的改变，惯性通道内流体的流速和流量发生变化，这会导致系统固有频率不同程度的变化，并与惯性通道内流体部分对应的固有频率相关性不同。根据这一标准对表4中第5阶和第7阶固有频率分别与第3阶固有频率做相关性分析（分别为0.983 095和0.960 654），可知第5阶固有频率与第3阶固有频率的相关度较大，由此亦可判定第5阶为垂向跳动模态，第7阶为侧倾模态。

为了判断其他阶的模态类型和具体形状，以振幅为0.3 mm为例（经计算，其他幅值下的系统模态类型与振幅为0.3 mm时基本一致），系统的模态幅值如表5所示。由表可见，第4阶和第6阶模态向量中各存在一个较大的幅值比分量，据此判定第4阶模态对应系统的θX（扭转），第6阶模态对应系统的θZ（横摆），在此基础上，亦可判定第1阶和第2阶模态分别对应系统的Y（纵向平动）和X（横向平动）。

表5 振幅为0.3 mm时系统复模态幅值

虽然根据表5中的幅值信息可对模态的类型作出判断，但还须根据相位信息确定模态的具体形状。分别对系统在第3阶和第5阶振动时各分量的相位信息进行分析，如图5所示，图中，模态向量的实部为横轴，虚部为纵轴，线段的长度为向量的模，线段与实轴的正向夹角为相位。由图可见：系统第3阶振动时，动力总成系统的垂向分量、侧倾分量和惯性通道内的流体分量都在第4象限内，三者趋于同相运动，而扭转分量在第1象限内；第5阶振动时，动力总成系统的垂向分量和流体分量位于第1象限，而系统的侧倾分量和扭转分量分别位于第2和第3象限，前两者趋于同相运动，并与扭转分量运动相反。经式（10）计算，在所讨论的其他振幅下，系统第3阶主振动时的垂向分量和惯性通道内的流体分量的相位差在3.1°～4.2°之间，基本属于同相运动；而第5阶的垂向分量和惯性通道内的流体分量的相位差较大，在3.23°～95.94°之间。因此，液压悬置对系统的垂向才会产生较大的影响。

图5 第3阶和第5阶振动时各分量相位信息

3.3 解耦度分析与优化设计

为了与模态分析方法进行对比，同样以振幅0.3 mm为例，根据式（18）对液压悬置系统的模态进行解耦度计算（不考虑液压悬置的第3阶模态），如表6所示。由表可见，各阶的模态类型与3.2节中的模态类型判断一致。

表6 振幅为0.3 mm时系统各阶能量分布矩阵%

将表6的计算结果（考虑液压悬置惯性通道内流体所占的能量）与表7的结果（仅对刚体的6阶模态进行解耦度计算）进行对比可知，刚体在第5阶振动时，表7计算的垂向解耦度偏大，其他阶的解耦度基本不变。进一步，按式（18）得出第5阶主振动时，3种情况下（流体、考虑流体时垂向、不考虑流体时垂向）的能量解耦度随振幅的变化曲线如图6所示。由图可见，第5阶主振动时，流体部分的解耦度（即能量占比）在19.22%～48.83%之间，且不考虑流体时的垂向解耦度偏大量为12%～35%。

表7 振幅为0.3 mm时刚体各阶能量分布矩阵%

图6 第5阶主振动时不同情况下的能量解耦度

从动力总成的角度，可知液压悬置内的流体相当于“吸收”了部分振动，使刚体部分垂向所占的能量减小，其振动得到衰减，反映了液压悬置在减振方面的优势。因此，对动力总成液压悬置系统进行优化时，可把垂向模态下刚体部分所占能量TRZ与惯性通道内流体所占的能量TLZ之和作为系统垂向解耦度的优化目标，即

Ttotal值越大，系统的垂向解耦度越高。

为进一步研究幅值变化对系统解耦度的影响，在考虑液压悬置惯性通道流体的情况下，计算不同振幅下各阶能量占优方向上的解耦度，如图7所示。由图可见，振幅对系统的第4阶、第5阶和第7阶能量占优方向上的解耦度影响较大，其他阶基本不变，这也与模态分析得出的结论基本一致。由此可知，动力总成液压悬置系统和橡胶悬置系统在固有属性方面有本质不同，因此，在对动力总成悬置系统进行模态分析时不能一概而论［11］。

图7 不同振幅下的解耦度

根据图7各阶能量解耦度随振幅的变化规律并结合式（20）可知，在激励振幅为3 mm时，系统的第4阶扭转和第5阶垂向模态的解耦度最小且分别为68.78%和74.95%。因此，在综合考虑各阶解耦度对振幅灵敏度的情况下，为保证在振幅3 mm下，系统的垂直、扭转、纵向平动和横向平动方向上的解耦度均在90%左右，设定目标函数为

式中：li为权重系数，取 l1=0.4，l2=l3=l4=0.2；κi分别为对应系统垂直、扭转、纵向平动和横向平动的解耦度。结合Isight软件对悬置各向刚度和液压悬置橡胶主簧的刚度进行确定性优化，相应的目标函数和约束条件为

式中：j=1，2，3，分别代表左悬置、右悬置和后悬置；根据表 2，l分别取 Ui，Vi，Wi；Kr为液压悬置的橡胶主簧刚度，优化后由507变为461.4 N·mm-1。其他参数优化结果如表8和表9所示。

表8 振幅为3 mm时各阶解耦度优化前后结果对比 %

由表8可知，动力总成液压悬置系统的第4阶扭转和第5阶垂向模态的解耦度有明显提高。值得说明的是，系统在所讨论的其他振幅激励下，通过采用表9优化后的悬置刚度进行解耦度计算，对应结果亦满足隔振要求。

表9 优化前后悬置各向刚度对比N·mm-1

4 结论

（1）本文中提出了非线性影响下悬置系统的模态分析和解耦度计算方法，针对动力总成液压悬置系统，该方法可直接求解幅频特性影响下系统的固有属性、判别各阶的模态类型和进行解耦度的计算。

（2）通过实例分析不同振幅下的系统模态，厘清了各阶阻尼比、固有频率和解耦度随振幅的变化规律，其中除垂向跳动、扭转和侧倾模态对应的参数随振幅变化外，其他方向的模态参数基本不变。

（3）提出的动力总成液压悬置系统的垂向解耦度计算方法和优化目标可为悬置配置和液压悬置参数的优化提供参考。

（4）本文中所提方法是基于动力总成液压悬置系统的振幅在0.3～3 mm之间，经对比验证［6］，该方法同样适用于小振幅振动，同时系统模态表现出类似的变化规律。