基于改进二阶滑模控制器的六相PMSM矢量控制

刘 超，曹兆锦，常俸瑞

(1.南京理工大学 泰州科技学院，泰州 225300；2.广东电网有限责任公司湛江供电局，湛江 524005)

0 引 言

永磁同步电机(以下简称PMSM)随着日益更新的控制技术的进步与高性能永磁体的发展，逐渐代替了传统的电励磁同步电机，在航空航天业、新能源汽车及船舶工业等领域占据了一席之地。国外发达国家的永磁电机处于行业的领先地位，随着“中国制造2025”的实施，国产PMSM获得了高速发展，行业的前景较为乐观。相较于传统的三相PMSM控制系统，六相PMSM控制系统凭借其优越的性能、高可靠性及强大的容错能力受到国内外诸多学者的注目，其在船舶、机械等建造行业的发展尤为迅速。

六相PMSM作为一种非线性、高耦合、多变量的复杂控制系统，需要一种高效的控制方法，实现对电机的精确控制，以达到提高电机性能的目的。高精度、高性能的控制系统要求电机的输出响应速度快，转矩脉动稳定，并且抗干扰能力较强，变结构滑模控制作为一种优秀的控制方法，具有速度快、响应时间短等多种优点,经过国内外学者的推广与发展，滑模控制在伺服控制系统中取得较好的效果。

本文采用一种控制精度较高的二阶滑模控制器对六相电机速度环进行控制，在MATLAB内搭建了二阶滑模速度控制器模型，将其仿真波形与传统PI速度控制器进行比较，得到以下结论：改进型二阶滑模速度控制器具有比PI控制更加优秀的速度动态响应能力，可提高电机系统的鲁棒性和抗干扰能力。

1 六相PMSM数学模型

六相PMSM作为一种多维度、多变量、高耦合的非线性系统，其数学模型与实际情况有许多差别，为了简化电机的数学模型方便建模，对电机作出如下假设:忽略磁铁的磁滞效应、涡流效应及饱和效应；电机的定子绕组均匀分布，且不计齿槽效应；不考虑磁场中空间高次谐波对系统的影响，磁势按正弦分布。

根据以上所确立的先行条件，对六相PMSM建立经过基于矢量空间解耦(VSD)的坐标变换后的数学模型，使电机具有x,y和d,q两个子空间。

六相PMSM空间电压方程：

(1)

(2)

六相PMSM运动方程：

(3)

六相PMSM转矩方程：

Te=3piq[id(Ld-Lq)+ψf]

(4)

式中：ud，uq，ux，uy为定子电压d,q和x,y分量；id，iq，ix，iy为定子电流d,q和x,y分量；R为定子电阻；L1为漏感；p为极对数；ψf为磁链；ω为角速度；Te为转矩；TL为负载转矩(多种转矩，如齿槽转矩、电源波动等)；J为转动惯量。

由式(1)、式(2)的电压方程可以看出，六相PMSM数学模型完全解耦，则六相PMSM完全可以采用与三相PMSM的id=0相同的控制策略，即在x,y和d,q两个子空间内使id=ix=iy=0。

基于id=ix=iy=0矢量控制的六相PMSM的速度控制系统主要分为六大模块： 一个速度环控制器和四个电流环控制器；坐标变换模块；六相PWM模块；逆变器模块；编码器模块；六相PMSM模块。

2 二阶滑模控制

滑模变结构控制被广泛应用在电机智能控制的领域，而六相PMSM是一种较为复杂的非线性系统，将关于特殊的非线性控制策略的滑模控制算法引入到六相电机的复杂系统中，有利于发挥出滑模控制的算法简便、稳定性好的优势。在滑模研究的发展中，衍生出终端滑模、分数阶滑模、变阶次滑模等多种各具特色的滑模控制，其优劣并存。本文采用基于super-twisting算法的二阶滑模速度控制，其能够使传统滑模控制系统中的抖振现象被有效抑制，并且没有减弱其他优点，将速度环上的传统PI控制器替代为基于super-twisting算法的改进型二阶滑模控制器，在一定程度上提高了六相电机控制系统的整体性能。

2.1 super-twisting算法

super-twisting算法作为二阶滑模控制算法中的一种，在相平面上的移动轨迹逐渐逼近原点，滑模面附近的控制量不断收敛，直到系统的等效控制，从而解决了了传统滑模的抖振问题。一般的动态控制系统描述如下：

(5)

式中：x为状态变量；f,g,m为未知函数；u为连续控制输入量。

super-twisting算法的相平面的轨迹逐渐收敛逼近至原点，因其轨迹图是螺旋式结构，被称为超螺旋算法。其控制律可设计如下，一为滑模面函数，二是对时间的导函数：

(6)

式中：kp,ki为滑模增益。

super-twisting滑模控制器在滑模面上收敛的充要条件：

(7)

式中：AM≥|A|和BM≥B≥Bm，A和B分别是由输出y的二阶导数定义的上下限。即：

(8)

则可以根据电机模型定义A=ωψf-Riq，B=1。由此看出，定子电流iq与转速ω有限制范围，所以满足super-twisting滑模控制器收敛的充要条件。

2.2 控制器设计

定义六相PMSM状态变量：

x=ω1-ω

(9)

式中：ω1为参考转速，其为常数；ω为实际转速。

定义滑模面：

(10)

式中：c为大于0的设计参数，可加快滑模收敛速度。

对式(8)求导，得：

(11)

由式(1)～式(3)化简可知：

(12)

(13)

综合式(11)和式(12)可得：

(14)

(15)

结合式(8)和式(15)，由A和B分别是输出的二阶导数的上下限不难看出，运动系统满足收敛性条件，所以可以通过调节滑模增益kp，ki来使系统达到控制满足稳定性的要求。

将速度控制器的设计参数r取0.5时，控制器方程：

(16)

传统符号函数sign(s)作为一种不连续的函数，有着诸多缺点，主要因为其运动最后不能趋近于零点。用饱和函数代替符号函数可以解决系统抖振的缺点，在此根据正弦函数的特性，提出一种边界层可变的正弦饱和函数，其公式如下：

(17)

式中：η为边界。边界数值不可过大，否则开关函数的效应将减小，对电机控制系统的性能影响较大，取值0.001。综上所述，抖振得到了较好抑制，改进后二阶滑模控制器：

(18)

3 建模与仿真

图1为六相PMSM矢量控制系统的结构图。利用MATLAB/Simulink工具箱对六相PMSM二阶滑模速度控制系统进行仿真研究。给定电机转速60 rad/s,将传统PI控制器的输出波形与本文的二阶滑模速度控制器进行对比，并且在0.2s时将转速由60 rad/s降落至30 rad/s,比较两者的优劣。

图1 六相PMSM二阶滑模速度控制系统

本文所采用的六相PMSM参数：极对数p=3，磁链ψf=0.68 Wb，转动惯量J=0.015 kg·m2，电感Ld=Lq=8.8 mH，定子电阻R=1.4 Ω，阻尼系数为0。在空载下运行电机，采用Ode23tb算法，仿真时间为0.4 s。取kp=3，ki=5,c=0.1。

从图2、图3的对比可以看出，二阶滑模控制下的电机没有超调量，运行较PI控制更加稳定，速度响应更快，二阶滑模控制下的电机转矩波动较小，初始转矩脉动没有PI控制下脉动大；从图4、图5的详细对比可以看出，在转速突变过程中，二阶滑模控制较PI控制的响应速度更快，鲁棒性更好，转速更平稳，并且在0.2 s时，二阶滑模的转矩脉动比PI控制更小。以上现象足够说明二阶滑模速度控制器突出的优越性。

(a) PI控制

(b) 二阶滑模控制

(a) PI控制

(b) 二阶滑模控制

(a) PI控制

(b) 二阶滑模控制

(a) PI控制

(b) 二阶滑模控制

4 结 语

本文详细研究了基于super-twisting算法的二阶滑模速度控制器，以及六相PMSM的矢量控制系统，在MATLAB/Simulink工具箱的基础上进行仿真研究，验证了模型的正确性。综上所述，二阶滑模速度控制系统有如下优点：二阶滑模速度控制器在运行时解决了传统滑模的抖振问题；在六相PMSM速度控制系统中，二阶滑模有着响应速度快，初始转矩脉动小，鲁棒性强等优点；没有PI控制器在刚开始运动时的超调量； 在六相PMSM中，当给定转速突变时，二阶滑模强大的稳定性、抗干扰能力得到了验证。