张 东
(北京教育学院朝阳分院 100026)
培养学生从数学角度发现和提出问题的能力是《义务教育数学课程标准(2011版)》和《普通高中数学课程标准(2017版)》中新增的课程目标,也是中国学生发展核心素养中科学精神、实践创新两大核心素养的具体表现.这就要求广大教师在数学课堂教学中,不能只关注分析和解决问题,而应该要把发现问题、提出问题、分析问题和解决问题当作一个不可分割的整体,从解决问题向问题解决转变.复习课作为课堂教学的重要形式,理所当然应适时担负起培养学生发现和提出问题能力的使命.然而很多教师认为复习课的主要任务是学生进行知识体系的结构化、网络化和提升分析和解决问题能力,而培养学生发现和提出问题不是复习课的任务.事实上,如果能以发现和提出问题的方式推进复习课的教学,不仅能大大激发学生复习课的学习动机,增强学生知识体系建构的主体性,而且能使复习课从发展“双能”走向发展“四能”,从而实现复习课教学效能和育人目标的全面升级.本文将结合具体教学谈如何基于发现和提出问题推进复习课教学.
根据认知心理学理论,学生能将知识举一反三、触类旁通、应用新情境的关键是学生能否将所学知识结构化.知识在新授课阶段是点状的,复习课的一个主要教学任务就是让学生能对一个单元或几个单元的知识基于一定的逻辑主线串联起来,从而形成一个网络化、结构化的知识体系.虽然很多老师也有这方面的意识,但要么是单纯的让学生回顾有哪些概念、哪些性质、哪些定理,缺乏从新的高度对全体知识进行统摄,学生思维含量低;要么教师干脆直接展示自己准备好的知识结构图,赤裸裸的直接就结构讲结构,造成学生参与度不高, 只知其然不知起所以然,昏昏欲睡.如果此时能采用学生自己发现和提出问题的方式推进知识体系的建构,将能极大的提高学生知识建构的主动性、有效性及思维含量.下面以一节二次函数复习课的教学片断为例进行说明.
教师:同学们,我们已经学习完了二次函数,请你观察图1中的二次函数图象,如果要让你结合这个图象给自己的同桌提一个数学问题,你能提什么数学问题呢?请把问题写在老师给大家发的A4纸上,并贴在黑板上.
图1
学生一听是要给其他同学提问题,立刻来了兴趣,纷纷观察图象,开动脑筋,不断提出自己的数学问题:
问题1:此抛物线的解析式是什么?
问题2:此抛物线的对称轴是什么?
问题3:抛物线与坐标轴的交点坐标是什么?
问题4:抛物线的顶点坐标是什么?
问题5:此函数的是否有最值?最值是多少?
问题6:此抛物线何时y随x的增大而增大,何时y随x的增大而减小?
问题7:点C关于直线DE的对称点坐标是多少?
师:这些问题都是从哪个角度提出的,如果换个角度你还能想到哪些问题?
学生对比这些问题,发现都是从二次函数图象特征和性质(增减性、对称性)来提的,如果不从这些角度提,还可以从哪个角度提问呢?稍思片刻后,一个学生提出问题:“一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是怎么样的?如果有根,这个根是多少?如何由二次函数的解析式和图象分别确定一元二次方程根的情况?”其他同学听到这三个问题后,不由发出“哇”的赞叹声,还有部分同学小声说“我怎么没想到”.在这位同学的启发下,许多学生又从不同角度提出自己的数学问题:
问题8:方程ax2+bx+c=-3的根的情况怎么样?
问题9:不等式ax2+bx+c>0的解集是什么?
问题10:如果将此抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线是什么?
问题11:如果将此抛物线绕点E旋转180°,所得抛物线解析式是什么?
问题12:如果将此抛物线x轴下方的抛物线延x轴翻折,那么所得新图象的解析式是什么?
问题13:如果点D是x轴上的一个动点,且D的横坐标为a,那么当x>a时,函数y的取值范围是什么?
问题14:△ABC的面积是多少?它是什么样的三角形?
问题15:点A、E、F、B四点是否在同一圆上?
师:刚才同学们提出了很多关于二次函数的数学问题,那么请大家对以上问题涉及的知识进行分类,在分类的基础上画出涉及二次函数的知识结构图.
学生画出结构图后,教师请部分同学展示、讲解自己的知识结构图,教师和其他同学一起进行评价与完善,最终形成一个比较完整的关于二次函数的知识结构图(如图2).
图2
点评在上述教学中,教师通过创设一个富含数学问题的开放性情境,通过让学生发现和提出数学问题的方式进行了二次函数知识体系的建构.在案例中,学生的兴趣被激发、思维被激活,对复习课不再是昏昏欲睡而是兴趣盎然,不再是被动接受,而是主动建构.他们在发现和提出问题过程中,不知不觉地在头脑中进行着二次函数内部与外部各种知识的回忆、联系及知识间联系的建构.教师又组织学生对问题进行对比、分类、联系等思维活动,设计了画结构图以及对知识结构图的展示、评价、完善等学习活动,从而使学生对二次函数的知识结构从内隐化到外显化,从粗糙化到精致化.这样的通过学生自主发现和提出数学问题的方式推进复习课,不但学生喜欢,积极性高,更重要的是学生作为知识体系建构的主体,不仅建构了知识体系,而且内化理解了知识体系,这样的认知结构其迁移性将更强.
专题复习课是复习课中的常见类型,这类复习课通常以问题解决为主要形式,以增强学生问题解决能力为主要目标.然而当前专题复习课的教学已经被异化为“问题解决=解题教学=题型教学=刺激-反应训练”[1].这种现象显然窄化了对问题解决能力的认识,问题解决能力不仅包括分析和解决问题的能力,还应包括发现和提出问题能力,发现和提出问题是分析和解决问题的开始.那么如何以发现和提出问题的方式推进学生的问题解决呢?全美数学教师委员(NTCM)在其课程标准中指出“我们的教学应给学生提供这样的机会——从给定情境中提出问题,或通过修改已知问题的条件去产生新的问题.”在专题复习课教学中,学生通常会先解决一个原始问题.然后教师会在原始问题的基础上进行问题变式和拓展,进而提出一系列问题让学生思考.这样的做法对培养学生对问题的深入思考固然是好的.但可惜的是,这些问题都是教师提出的,教师能否引导学生用数学的眼光和思维自己发现和提出这些变式问题呢?这样学生问题解决的兴趣是不是能更浓一些?对培养学生的数学思维品质特别是创新思维是不是更有利一些?是不是对提高学生分析问题和解决问题也有促进作用呢?
原始问题:如图3,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,以AD为边作等边三角形△ADE,DE交AC于点F,求证:点E在△ABC的外角平分线上.
图3
当学生解决完此问题后,教师提出问题:
“哪位同学能在这个问题的基础上,提出一个想研究的新问题?”
教师提出问题后,学生一脸惊愕,没想到老师会让自己去提出让大家研究的数学问题.虽然很兴奋,但却一时提不出问题.这时教师进行了启发:“将问题的条件进行推广,探索结论的适用范围能否更广,这是从数学角度考虑问题的基本思维,受此启发,你想到了什么数学问题?”在教师的启发下,同学们纷纷举手.大多数学生提出了这样的数学问题:
问题1:当点D是射线BC上一点时,点E是否还在△ABC的外角平分线上?
问题2:当点D是直线BC上一点时,点E是否还在△ABC的外角平分线上?
问题3:将△ABC和△ADE都变为正方形时,点E是否也在正方形的外角平分线上?
随着一个个问题的提出,学生们沸腾起来了,解决问题的热情特别高涨,都急于想一探究竟.这时教师组织学生分组对三个问题分别进行分析、解决和展示,结果发现结论未变.这时,教师组织学生进行反思:“为什么条件改变了,但结论却未变?”,从而引导学生感悟变化中不变的缘由,使学生知其然更知其所以然.接下来,教师接着引导学生继续思考:“你还能继续提出一些数学问题吗?”看到学生一脸迷茫,没有思维方向,这时教师适时启发:“将条件与结论互换,逆向思考问题不也是数学常见的思考方式吗?”
在教师的启发下,学生立刻有了灵感,很多学生提出问题4:“如果将点E在△ABC的外角平分线上作为条件,其它条件不变,△ADE一定是等边三角形吗?”这一问题的提出立刻引来了很多同学的赞叹,但很快有同学反驳:“这个猜想不一定成立,例如如图4这种情况下,△ADE就不是等边三角形”.这时,同学陷入沉寂.教师继续启发:“难道△ADE就一定不可能是等边三角形吗?如果增加一个条件,△ADE是否就有可能等边三角形呢?”.在老师的点拨下,学生将问题4精致化,提出了下列问题:
图4
问题5:当∠DAE=60°时,△ADE是否是等边三角形?
问题6:当∠ADE=60°时,△ADE是否是等边三角形?
问题7:当∠AED=60°时,△ADE是否是等边三角形?
问题8:当AD=DE时,△ADE是否是等边三角形?
问题9:当AE=DE时,△ADE是否是等边三角形?
问题10:当AD=AE时,△ADE是否是等边三角形?
点评在此案例中,学生在教师的启发引导下,从不同的数学角度发现和提出了一系列非常有思维含量的数学问题,这样的学习活动无疑对学生深度体会运动变化中的不变性,感悟一般化与分类讨论等数学思想,发展逆向、横向、纵向思维能力,锤炼深刻性、发散性、全面性等思维品质具有非常好的教育价值.此外相比教师给出问题,在教师的启发下学生自己发现和提出数学问题,学生的学习兴趣更浓,分析和解决问题的动机更强,对问题的条件和特质理解程度更深,对问题间的联系和区别也认识更透,这些势必将对学生分析和解决问题有极大的提升作用.因此,这样的教学会对复习课全面改善学习生态,升级“双能”到“四能”,发展学生的创新思维和创新能力都具有非常好的的教育意义和价值.
(1)要基于“情境”让学生发现和提出问题.《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出“数学问题是指在情境中提出问题”“在教学活动中,应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题,引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题”[2].在复习课教学中,教师也应依据复习课的教学目标创设有利于学生建构认知结构、深度认识问题、感悟数学思想的情境,让学生借助情境去发现和提出问题.例如在本文的两个课例中教师分别以一个二次图象和一个具体数学问题为情境,这两个情境都来源于学生的数学学习,都富含许多数学问题,具有开放性,因此能有效激发学生的问题意识.复习课中的情境,可以是一个具体的数学问题,也可以是学生学习中的错题等,总之要避免空洞、机械、毫无条件的让学生提出数学问题.
(2)要引导学生有逻辑的提出问题.在基于发现和提出问题推进复习课的教学中,要避免两种倾向.一是放任学生漫无逻辑的乱问、瞎问.此时教师要注意引导学生按照一定的逻辑发现和提出问题,例如课例1中,教师引导学生从数的方面、形的方面,从单一的方面、联系的方面,从静止的方面、运动的方面等对二次函数进行提问;二是当学生提不出问题时,教师干脆直接给出问题.章建跃博士认为“有含金量的问题,需要有一般的观念来引领,有一定的数学思想作指导,有一定的思维策略作支撑”“在一定的宏观思想的指导下,经过深思熟虑,学生就一定能提出有意义的、高质量的好问题”[3].因此,面对这种情况,教师可从一般观念、数学思想、思维策略等角度提出问题启发学生,而不要简单的直接给出问题了之.例如在课例2中,当学生提出问题遇到困难时,教师没有代替学生直接给出问题,而是给予学生“一般观念、数学思想、思维策略”的启发: “将问题的条件进行推广,探索结论的适用范围能否更广,这是从数学角度考虑问题的基本思维,受此启发,你想到了什么数学问题?” “将条件与结论互换,逆向思考问题不也是数学常见的思考方式吗?”,从而使学生自主的想到了有含金量的数学问题.
(3)要将发现提出问题和分析解决问题教学兼顾.基于发现和提出数学问题推进复习课的教学,并不是指复习课中只提出问题而放弃解决问题,要做好二者间的兼顾与平衡.教师可在学生提出的问题中,选择一些有思维含金量的、学生感兴趣的问题让学生集体解决或分组解决.例如课例1中学生提出的问题较简单,可以边提问边集体解决,课例2中提的问题较复杂,于是教师采取了分组解决后集体展示的方法,从而将发现问题、提出问题、分析问题、解决问题作为学生学习的整体,使学生在整体中建构认知体系,感悟本质,发展思维.
顾明远先生指出“课堂教学是培养学生思维的主渠道”“只有会思考并提出问题,才能培养学生批判性思维、创新思维的能力”[4].复习课作为课堂教学的重要形式,广大教师要积极思考和实践如何在复习课中将培养学生的创新思维落到实处,希望本文能对广大教育同仁有所启示.