转移概率未知下Markov线性切换系统的H∞控制

徐风风，林瑞全，余康舟

(福州大学电气工程与自动化学院，福建 福州 350116)

网络控制系统(NCS)由于其便于维护、诊断，有利于资源共享及增强了系统的灵活性和可靠性等优点在各个领域得到广泛的应用。网络化控制带来若干优点的同时，由于自身的时延、丢包、时序错乱、网络宽带受限、介质接入限制等问题不可避免地会影响系统的控制性能，甚至导致系统不稳定。因此，如何设计控制器使NCS稳定已经成为当前研究的热点。

针对NCS中的时延问题，一些学者从不同的角度进行了研究。文献[1-5]在处理传感器到执行器之间的时变时延时，通过设置缓冲器的办法将时变时延转化为确定时延，简化了对系统的分析，但却降低了系统的控制性能。研究学者Ray[6]在研究网络控制系统中的分布式诱导时延时，提出了基于一个确定性的状态估计器和线性状态反馈控制律的分布式时延补偿算法。文献[7-8]利用系统模型和额外的系统动态信息，采用预估方法补偿了数据丢包和时延的影响，但降低了设计的保守性。

上述研究方法需要在传输端和接收端设置缓存，增加了网络的繁忙程度，有时会造成网络堵塞。为了解决这个问题，利用网络延迟和数据丢包的时序和概率等信息，将网络延时转化为Markov链，并将NCS建立成Markov切换模型。在Markov切换系统模型中，各个子系统并不是简单的叠加，其模态转移矩阵对切换系统的动态特性起到重要作用。在模态转移概率精确已知的前提下，切换系统的稳定性，滤波，鲁棒控制等问题得到了充分研究[9-12]。但是在实际的系统中，系统的模态转移矩阵通常难以获取[13-16]，因此设计合理的NCS鲁棒控制器具有重要意义。

本文在模态转移概率完全未知的前提下，将随机时延转换为Markov链序列，并将NCS建立成Markov切换系统，将随机时延的不确定性转变为系统模态切换的不确定性。设计合适的模态依赖状态反馈控制器，通过Lyapunov函数给出了闭环控制系统随机稳定的充分条件并利用LMI方法得出控制器参数。最后数值算例验证了该控制器设计方法有效。

1 问题描述

考虑如下广义切换系统模型：

(1)

其中x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rp分别为系统状态，控制输和测量输出，ω(t)∈Rq为空间L2([0,])上的外部噪声输入信号。r(t)为系统的模态，且r(t)∈Ω，Ω∈1,2,3,…,N。A(r(t))，B(r(t))，C(r(t))，H(r(t))为模态r(t)下的系统参数。

dt=τt为传感器到控制器的随机时滞，且满足下列条件：

0≤dt≤h,

其中，h是随机时延dt的上界。

采用变采样周期的方法将系统离散化，如果采样时刻k随机时延为dk，取此时刻变采样周期Tk=dk。离散后的系统模型如下：

(2)

当时延随机变化时，系统的离散型模态参数A(r(t))，B(r(t))，H(r(t))也是不确定的，并用Ar，Br，Hr表示。离散参数如下：

经过上述离散化过程，将控制系统时延不确定性转化为系统模态切换的不确定性，其模态切换的概率称为模态转移概率。模态转移概率空间为Π=πrs，概率πrs=Pr(k)=s|r(k)=r，即表示从模态r转移到模态s的概率为πrs。

对于一些实际的控制系统，通常很难获得其模态转移概率矩阵。因此做如下假设：

⋮

将式(3)中每一项不等式对应相加可得：

(4)

为了对离散对象(2)进行控制，设计如下模态依赖反馈控制器：

uk=K(r(k))x(k)， (5)

使得离散切换系统(2)渐近稳定。

将式(5)带入系统(2)，得到闭环控制系统的方程为：

(6)

下面给出系统稳定且具有H∞性能的定义。

定义对于离散切换系统(2)，若存在状态反馈控制器(5)，使系统满足下条件：

1)闭环控制系统均方意义下渐近稳定：

2)零初始条件下，系统输出满足：

(8)

则称离散切换系统(2)渐近稳定，且具有γ-次优H控制律。

2 H∞鲁棒控制器设计

定理对于给定标量γ>0，若存在标量ε>0以及对称正定矩阵Ps和Qs，使得矩阵不等式(9)成立：

(9)

则称闭环切换系统(6)是渐近稳定的，且具有H性能指标γ。

证明当外部扰动ω(K)=0时，构造如下Lyapunov函数：

(10)

其中P(r(k))Q(r(k))为系统模态r(k)下的一组对称正定矩阵。以下简写成P(r)Q(r)V(r)，显然V(k)>0,V()>0。

ΔV(k)=ΕV(x(k+1),r(k+1))|x(k),r(k)-V(x(k),r(k))=

将式(4)带入式(11)，并转换为矩阵形式：

(12)

其中，

(13)

若Θ<0，即ΔV(k)<0，上式在系统初始状态下也成立，因此系统是渐近稳定的。

引理1(Schur补)给定常数矩阵A以及正定对称矩阵P和Q，当ATPA+Q<0时，有以下不等式成立

因此由引理1可得，Θ<0等价为

(14)

因此，若存在标量ε>0以及对称正定矩阵Ps和Qs使得矩阵不等式(14)成立，则闭环网络控制系统(6)是渐近稳定的。

当外部扰动ω(k)≠0时，引入指标函数：

由初始条件V(0)=0，V()>0有

(16)

(17)

经过上文的类似推导，可得Ξ<0与下式等价：

(18)

即Ξ1<0与式(15)等价。

(19)

针对线性矩阵不等式Ξ2，如果状态转移概率矩阵Π完全已知或者其上界和下届已知，对于给定标量γ>0，求解线性矩阵不等式(20)可得x，y，则状态反馈控制参数Kr=yx-1，此时闭环系统(6)渐近稳定，且具有H性能指标γ。

如果状态转移概率矩阵Π完全未知，则通过求解下列优化问题：

(20)

可得抗扰动系数γ的最小值，并在系统渐近稳定条件下求得x，y。状态反馈的控制参数Kr=yx-1，此时闭环系统(6)渐近稳定，且具有H性能指标γ。

3 数值算例

考虑式所描述的广义切换系统，其参数在离散化后有3个模态，其参数如下：

模态一：

模态二：

模态三：

当其转移概率矩阵已知：

根据以上给定条件可知，系统3个模态的系数矩阵A(1),A(2),A(3)有在单位圆外的特征值，故系统不稳定。

系统给定抗扰动系数γ=0.15，并且在没有丢包的情况下，通过Matlab求解LMI可得：

则反馈控制器参数：

给定的系统有3种模态，各个模态的切换概率已知。给定外部扰动如下：

ωt=e-0.2tsin(0.5t),∀t≥0

图1 转换概率已知情况下，闭环系统状态变量变化曲线Fig.1 State variable curve of closed-loop system with known transfer probability

从图1中可知，系统在该控制器下能够很好满足系统稳定性要求。在这种情况下可求得最小抗扰动系数γ=0.145。

当转移概率未知，仅仅给出其上下限：

求解最优化问题可得最小抗扰动系数：

γ2=0.43。

因此可求得反馈控制器增益：

结合上述所设计的控制器，通过Matlab仿真：

图2 转移概率未知的情况下，闭环系统状态变量变化曲线Fig.2 State variable curve of closed-loop system with unknown transfer probability

从图2中可知，尽管初始系统不稳定，并且各个模态的转移概率未知，但通过转移概率上下限所设计的控制器依然使闭环系统随机稳定，能够到达预期的要求。

4 结语

针对NCS系统，用Markov链描述了随机时延的不确定性，并且基于H∞性能指标给出了模态依赖状态反馈控制器的设计方法，以LMI的形式给出使不稳定系统变得稳定的充分条件。控制器参数通过求解LMI矩阵得到，最终的数值仿真表明了该设计方法的有效性。