倾听养育生成之花

摘 要：心理学家黄月霞认为：“倾听是有效沟通所必备的元素，它是一种接纳的语言。”很多美丽的生成之花是在老师和学生的倾听中绽放的。在轰轰烈烈的数学课堂要竖起耳朵倾听来自学生的声音，营造出亲密的学习情境，给学生以积极的情感体验。学生深刻的体验能被大家分享，学生的能力才能获得更好的发展，生成之花就会越开越绚丽。

关键词：逻辑；三角函数；思维

案例1：必修5P31第4数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式：

（3）1，22，12，24，14

在高二（5）班因快下课了，时间急促，我就匆匆讲了教材给的方法，没注意学生有什么不同的声音。一分钟不到解决问题。而在高二（4）班上课时，讲到此题，因时间比较充裕，讲到这题时，我停顿了片刻，问学生怎么找？班上不同的声音传来。

我请同学们说自己的解法：

学生1：22，22，222，24，242

所以他得出an=2（2）n

学生2：11，12，1（2）2，1（2）3，1（2）4

所以得出an=1（2）n-1

学生3：220，221，222，223，224

所以得出an=22n-1

真是意外的惊喜，如果按教参的答案是学生3的解法，虽然解法三看上去最简洁，但并不是学生最新想到的。让学生自己去展示，我们才能了解学生的最近发展区是什么。同时引导学生了解给了数列的前几项要求写通项公式很多时候表达不唯一，学生很愉快地接受了这一说法。当然就这三个同学，虽表示不同，但化简后发现其实结果是一样的。学习的方法很多，条条道路通罗马。我们只有多让学生去展现，意外的生成才会开花结果。

案例2：在△ABC中，角A，B，C所多对的邊分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-3sinA）cosB=0。

（1）求角B的大小。

（2）若a+c=1，求b的取值范围。

这题来自优化设计，大部分学生想法都是想到余弦定理，解法如下

解：（1）B=π3。

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB。

因为a+c=1，cosB=12，所以b2=3a-122+14。

又0

而有一女学生特意向我提出另外一种解法：由正弦定理知asinA=bsinB=csinC，

所以bsinB=a+csinA+sinC

所以bsinπ3=1sinA+sinC，

b=32sinA+sin2π3-A=12sinA+π6

因为0

所以π6

12

所以12≤12sinA+π6<1

所以12≤b<1。

我感叹学生的反应能力，她能把我前面刚讲的等比性质用上。而且这章是解三角形，应该和三角函数图象性质密切相关。学生这种解法非常贴切教学主题。这让我情不自禁和学生一起归纳了求有关范围的三种解法：①利用二次函数求最值；②利用三角函数有界求最值；③利用基本不等式求最值（上节讲评作业刚好有涉及）。这真是个意外的收获。

案例3：已知a=（3，-4），b=（cosθ，sinθ），则|a-2b|的取值范围是 。

任课教师是一名五十多岁的老教师，在学生心目中威信比较高，但有时这变成课堂教学生成的一挡板石。板书特别工整，一堂课下来刚好写满一黑板。这一直以来是他的优点之一。下面呈现上课片段。

师：这题这样来解

解法一：因为a-2b=（3-2cosθ，-4-2sinθ）

|a-2b|=（3-2cosθ）2+（-4-2sinθ）2

=29-12cosθ+16sinθ

=29+2045sinθ-35cosθ

=29+20sin（θ-φ）

其中sinφ=35，cosφ=45

这时有学生大声提出可以直接用模去做，可老师只是停顿了下，说有更简单吗？我看未必。然后就引进第二种解法，真是可惜，失去了由此生成机会，而且严重打击学生的学习热情。应停顿下来，请那位学生讲讲他的解法。

解法二：数形结合法

a=（3，-4），b=（cosθ，sinθ），所以知b在单位圆上，然后画图。

到此老师很自豪地说简单吗？比你的解法快吧。真是可惜，这种解法学生应该很难想到，不是学生最接近的思路。

后面老师们评课时提到，可用向量的三角不等式来解，这是此位老师在一开始复习了的。这就是一个很好的例子。

||a|-2|b||≤|a-2b|≤|a|+2|b|答案马上出来[3，7]

这里为什么用这方法好呢，因为这里a和b的模都知道。如果其中一个模不知道，那还是要用通法。

解法四：（a-2b）2=a2-4a·b+4b2=29+20sin（θ-φ）（同解法一类似）

课堂是学生生活与学习的场景，教室是有限的空间，而课堂可以不局限于教室，他可以是学生在广阔的时空中。我们可以在课堂也可以在课外倾听学生不同的声音，让学生的生成之花一路绽放。

作者简介：

钟桂芳，福建省龙岩市，龙岩市高级中学。