关于烟花碎片运动状态的讨论与分析

彭梓芮

摘 要：本文探讨了烟花爆炸后碎片运动背后的物理学原理及现象解释。得出一般情况下烟花的形状是圆形。在无空气阻力时，该圆的圆心作抛物运动，该圆的半径随着时间匀速增加，在有空气阻力时，该圆的圆心作受空气阻力的抛物运动。这给许多其他如原子弹爆炸形成的蘑菇云等相似现象也做了解释。

关键词：空气阻力;抛物运动;质心运动定律;非惯性系

中图分类号：O4-0 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）06-0220-02

0 引言

夜晚，宏阔的天幕下，色彩缤纷、无比璀璨的烟花令人陶醉，其绽放后形成的美丽图案令人流连忘返。在互联网上查找烟花的图片，可以发现那些烟花爆炸后形成的碎片群在空中所围成的平面图案多以圆的形象存在。这些纷繁的烟花是怎么形成的？烟花背后有什么物理学规律？本文使用牛顿运动定律，通过建模、理论分析的方法讨论了这些问题。

1 物理模型建立

烟花在空中炸开后的碎片与空气有相对运动速度，因此有空气阻力的干扰。为了便于分析，先不考虑空气阻力，看看理想状态下的分析结果;接下来再考虑空气阻力，将简单情况下的研究方法迁移到较为复杂的情况下再次利用，即采用“由特殊到一般”研究思路。

这个现象抽象出来的数学问题如下：一枚烟花在天空中运动，它在迸裂之前的瞬间具有的速度计作v0，之后其碎片以各自的速度vi向各个方向运动。为简化问题，我们假设碎片的速度v在同一个二维平面上。

在速度恒为v0的参考系（称为“系1”）看来，烟花迸裂之前的瞬间速度为0，假设烟花爆炸具有各向同性，此时在系1看来，碎片i朝着四面八方的速度vi1大小相等，记作v1，且有vi=vi1+v0。这就求出来了vi的方向和大小。

一般情况下，碎片接下来的运动受到重力和空气阻力的共同作用，两个力提供运动的加速度。我们接下来分两种情形讨论烟花碎片的运动。

2 无空气阻力情形的讨论

2.1 地面参考系

不考虑空气阻力时，烟花碎片i的运动是一个典型的抛物运动，以爆炸瞬间作为时间起点，t时刻烟花碎片的位置为：

x=vixt，y=viyt-gt2                           （1）

由于vi=vi1+v0，所以有vix=vix1+v0x=v1cosθi+v0x，同理有viy=v1sinθi+v0y。这里面θi是碎片i在系1中运动方向和水平方向的夹角。因此有：

x=v1cosθit+v0xt，y=v1sinθit+v0yt-gt2          （2）

因此在时刻t，不同的碎片i的位置满足方程：

（x-v0xt）2+（y-v0yt+gt2）2=（v1t）2                  （3）

可看出，所有的碎片在时刻t形成了一个圆，圆的半径随着时间匀速变大为v1t，圆的圆心位置为（v0xt，v0yt-1/2 gt2），是一个初速度为v0的抛物运动。

2.2 抛物系

无阻力情形下的运动可以使用初速度为v0的抛物运动为参考系，这个参考系是一个非惯性系，在该系下碎片i的运动即受到竖直向下的重力mig，又受到竖直向上的惯性力[1]mig，二力平衡，因此在该系下看来，各个碎片的运动是匀速直线运动。由于各个碎片的初速度在烟花爆炸的瞬间大小相同且为v1，方向不同。那么仍以爆炸瞬间作为时间起点，在接下来的各个时刻t，形成的图形一定是一个圆，圆的半径为v1t，圆心的位置在该系下始终不变，回到地面参考系，圆心的位置就是一个初速度为v0的抛物运动，这和1中的结论完全一致。

使用抛物系的观点，我们还可以解释某些特殊的烟花形状，例如椭圆形。这一类烟花形状的产生是由于在烟花爆炸时不具有各向同性，在系1中，烟花爆炸后的瞬间碎片的速度朝着各个方向，其大小是不同的，此时在抛物系中来看，朝着不同方向运动的碎片初速度大小不同，随后的时间里，碎片做匀速直线运动，所以这些碎片在时刻t朝着各个方向运动的距离不同，自然也就不能够形成圆形。但即使如此，烟花形状的中心位置仍然是一个初速度为v0的抛物运动，这是因为烟花形状的中心位置在抛物系中看来是不变的。

3 有空气阻力情形的讨论

3.1 空氣阻力的模型

查阅有关“空气阻力”的资料并结合所学，空气阻力方向恒与相对运动方向相反，大小与空气密度、物体迎风面积、空气阻力系数等等有关[1]，而且碎片在运动中不免会发生旋转，因此不能将其视作质点。此处为避免使本文不聚焦的方面喧宾夺主，也避免使问题进一步复杂化，将摩擦力简单考虑成f=-αv[2]，突出其主要影响因素：碎片相对于空气运动的速度。这就是说，碎片i受到的空气阻力为fi=-αvi，这里对于不同碎片，阻力大小和其速度之比α认为是大致相同的，原因是我们认为各个碎片基本一样，此时质量大致相同，即mi相同，记作m，这个假设与日常生活中的经验也是相符的，只要烟花的质量较好，爆炸后的碎片质量相差不大，即使有一些碎片质量和m相差较大，这些碎片的数目也比较少，因此对烟花的形状影响不大，可以不考虑。

3.2 抛物系

抛物系（在角标中记作p）下，碎片i在运动的过程中，受到竖直向下的重力mig、空气阻力fi、竖直向上的惯性力-mig三个力作用。其中重力和惯性力的合力为0，不影响在抛物系下观察到的碎片运动。

空气阻力fi=-αvi由于在抛物系下碎片的速度vip（t）和地面参考系下的速度vi之间的关系为vi（t）=vip（t）+v0+gt，v0+gt是抛物系相对于地面的速度。空气阻力产生的加速度可以分解为两个：

ai==-（vip（t）+v0+gt）=-vip（t）-（v0+gt）      （4）

如果没有空气阻力，那么碎片的运动将会是匀速直线运动，按照之前的结果，运动形成的烟花形状将会是圆形，如果仅考虑第一项加速度-vip（t）的影响，则由于碎片运动的各向同性，在相同的時间间隔内，各个碎片朝着不同的方向运动的距离大小相等，因此在各个时刻看来，烟花的形状仍然是一个圆形。

如果此时再考虑第二项加速度-（v0+gt）对于运动的贡献，这一项加速度和碎片无关，也就是说对于各个碎片来说这一部分加速度相同，造成的速度变化一致，所以不影响碎片之间的相对速度（但是会影响碎片在抛物系中的绝对速度）。需要注意到的是，这一项会造成碎片i速度的绝对变化，该变化又会反映到阻力的变化中去，但是该变化对于各个碎片来说是相同的，所以对各个碎片造成的阻力变化也是相同的，因此这一阻力变化造成的新的加速度，对于各个碎片来说相同，所以也不会影响碎片之间的相对速度。因此，考虑到第二项加速度-（v0+gt），各个时刻碎片之间的相对速度不会因此改变，这也就意味着碎片之间的相对运动和第二项加速度无关。烟花的形状完全是由碎片之间的相对运动决定的，所以烟花的形状不会因为考虑了第二项加速度而改变，因此烟花的形状仍然是一个圆形。

由于烟花仍然是圆形，且总计N个烟花碎片的质量m大小可以认为是近似相等的，这意味着圆心的位置就是质心的位置。为了求解圆心（即质心）的运动规律，我们可以在地面参考系下使用质心运动定理[3]，地面系下质心所受的外力一项是重力的合外力Nmg，另一项是阻力的合力∑fi =-α∑vi=-αNvc，两个力给出了质心的加速度，亦即Nmg-αNvc=Nmac，所以mg-αvc=mac，所以圆心的运动是一个在重力场中受到空气阻力的抛物运动。

4 结语

本文建立了烟花爆炸的物理模型，揭示了不考虑和考虑空气阻力两种情形下的烟花形状规律和圆心的运动规律，对于利用不同的爆炸速度，设计复杂图案的烟花可参考应用。这个规律在生活中的体现十分广泛，例如一滴球状水滴滴在光滑平面上总形成圆，核武器于空中爆炸时总产生“蘑菇云”的景象等等。

参考文献

[1] 许新胜，张雪.用平动惯性力求解力学问题的讨论[J].物理通报，2011（4）：11-13.

[2] 黄玉梅.考虑空气阻力讨论上抛问题[J].物理教师，2018，39（9）：63-64.

[3] 杨习志.从“质心运动定理”和“质点系动能定理”看汽车的牵引力问题[J].物理教师，2014，35（7）：63-64.