浅析函数中的恒成立问题

朱晓明

【摘要】函数与不等式的恒成立问题一直是高中数学中的一个重、难点问题.这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜，容易混淆，学生往往感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，不知如何下手，因此，备受困扰.在此，为了更好地、准确地把握这类问题的快速解决，本文就恒成立问题，结合具体例题对常见的解法做了一些初步探索和总结.

【关键词】函数;恒成立;方法

恒成立问题综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，又是体现中学数学基本思想和方法的载体.恒成立问题一般有最值转换法、变量处理法和数形结合法.

一、最值转换法

对含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以用求函数最值的方法，即：

（1）f（x）>m恒成立f（x）min>m;

（2）f（x）

典型例题

例1 已知f（x）=x2+2x+ax，对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，试求实数a的取值范围.

解析 f（x）=x2+2x+ax≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，

等价于φ（x）=x2+2x+a≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，

又等价于x≥1时，φ（x）min≥0成立.

由于φ（x）=（x+1）2+a-1在[1，+∞）上为增函数，

则φ（x）min=φ（1）=a+3，∴a+3≥0，a≥-3.

即a的取值范围为[-3，+∞）.

二、变量处理法

恒成立问题通常包含2个以上变量，变量之间相互制约.如果对变量的处理方法得当，通常能够化繁为简，事半功倍.变量的处理方法根据具体情况又可细分，如：

（1）分离参数法.在同一个等式或不等式中，将主元与辅元分离，一般适用于参数与变量易于分离，并且分离后的函数最值容易求出的题型.

（2）主元变换法.对含有两个参数，且已知一个参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，求另一参数的取值范围.

（3）消元转换法.对含有两个以上变量的不等式恒成立问题，可以根据题意依次进行消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决.

典型例题

例2 已知对任意的a∈[-1，1]，函数f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，求x的取值范围.

解析 令g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3在a∈[-1，1]时，g（a）>0恒成立，

则g（-1）>0，g（1）>0， 得-3-13

即x的取值范围为{x|-3-13

点评 本题若按照常规思路：a=0时，f（x）是一次函数;a≠0时，是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围.因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成是参数，我们可以通过变量转化，把a看成变量，x看成常参数，这就转化成一次函数问题，问题就变得容易求解.

三、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用.我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系，对一些不能把数放在一侧的，可以利用构造对应两个函数的图像法求解.如，

（1）f（x）>g（x）函数f（x）图像恒在函数g（x）图像上方;

（2）f（x）

对以上f（x）≥g（x）型问题，可以利用数形结合思想转化为函数图像的关系再处理.若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对选择题、填空题，这种方法更显方便、快捷.凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可以考虑此法.

典型例题

例3 当x≥0时，不等式（5-a）x2+6x+a+5>0恒成立，求实数a的取值范围.

解析 令f（x）=（5-a）x2+6x+a+5，由题意，f（x）>0对x∈[0，+∞）恒成立.

（1）当5-a=0，即a=5时，有6x+10>0对x∈[0，+∞）恒成立.

（2）当5-a≠0时，结合二次函数的图像，

有-62（5-a）<0，f（0）>0，5-a>0 或-62（5-a）≥0，5-a>0，Δ=36-4（5-a）（a+5）<0，

解得-5

综合（1）（2），得a∈（-5，5].

恒成立问题是近几年高考的热点，这类试题综合性比较强，难度大，可以综合集合、函数、数列、不等式、方程及导数等诸多方面知识，其题型和解题方法灵活多样.解决此类问题可培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力，在此基础上充分挖掘他们的创造潜能，以理性的探索、求真、质疑作为坚强的依托，合理地选择有效的手段与策略，灵活应用所学知识与方法进行探索研究，甚至是创造性地解决问题.[1]

【參考文献】

[1]武小强.恒成立问题解法总结[J].试题与研究：新课程论坛，2009（23）：38.