浅谈有理数两种定义的等价性及其简单应用

吴林隽

【摘要】有理数是什么？或许我们马上会回答：有理数是无限循环小数，有理数是可以用分数形式表示的实数.我们学过的教材对有理数的定义真的是这样的吗？有理数有几种定义，它们之间是否相互等价？笔者分析了一些教材中对有理数的两种定义，在本文中尝试并证明了两种定义的等价性，而且通过一些具体的例子验证了两种定义的等价性，希望读者读过此文后能对有理数的两种定义有更深刻的理解.

【关键词】有理数定义;分数;无限循环小数;循环节;唯一表示

一、有理数的两种定义

何为有理数？或许我们会马上回答：有理数是无限循环小数.或许我们还会再严格一点回答：有理数是整数或有限小数或无限循环小数.我们还有一种常见的回答：有理数是可以用分数形式表示的实数.我们有没有想过，上面我们所熟悉的有理数的概念是从哪里獲得的，自创的？做习题时在参考书上旁注的？教科书上获得的？或许我们很难回忆起是从哪里获得有理数这个概念的了，但没有关系，我们对有理数的应用是熟悉的，所以不会影响我们下面的讨论.

下面我们先看一些教材中有理数的定义.

人民教育出版社出版的《义务教育教科书七年级数学上册》第12页对有理数的定义是：“整数和分数统称为有理数.”[1]我们知道，整数可以看作是分母为1的分数，所以这本初中数学教材对有理数的定义其实是：能够用分数形式表示的实数叫作有理数.

人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书》的数学所有必修、选修系列均未对有理数下定义，只有《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第3页中简洁地提了一下有理数集的概念：“全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.”[2]这里并没有对有理数下定义.

科学出版社出版的《数学分析（一）》第3页这样描述有理数：“有理数集Q中的每个数都可以用既约分数pq表示（其中p∈Z，q∈N+，且p，q互质）.”第177页说：“有理数可表示为有限小数或无限循环小数，有限小数也可以表示为无限循环小数.”[3]

现在我们先明确教材中有理数的两种定义.

定义1 能够用无限循环小数形式表示的实数叫作有理数，如果把整数和有限小数写成循环节为0的无限循环小数的话.

定义2 能够用分数形式表示的实数叫作有理数.

二、无限循环小数的本质

现在我们明确了我们以前接触过的有理数的上面两种定义.下面我们要讨论的是，这两种定义等价吗？换言之，无限循环小数是不是一定可以用分数表示，分数是不是一定可以写成无限循环小数？我们的第一反应可能会觉得这个想法太荒谬了，这不是很显然吗？也许，我们再细细想想，两者的等价性好像不是那么“显然”.

先看一个问题：0.9999…=1是否成立？可能我们会马上说：当然成立了，这不很明显吗？——如果要我们说明理由呢？好的，我们想出了这个理由：因为0.9999…和1无限接近，所以0.9999…=1.——这个理由得牵强.或许笔者想到了一个更加充分的理由：因为13=0.3333…，所以1=13×3=0.3333…×3=0.9999…——这个理由让笔者非常满意，因为它充分地解释了为何0.9999…=1.

0.9999…=1是否成立的问题已经得到了完美的解决，那么0.573573573…=0.5·73·能否写成分数形式？如果我们没有这方面的经验，或许我们一时想不出来——不如我们先思考一个比较简单的问题：0.1·怎样用分数形式表示？不用考虑太久，我们就可以想到0.1·=19，而且验证后发现确实是成立的.那么0.2·呢？或许我们马上脱口而出：0.2·=29.

现在我们应该可以猜出0.5·73·怎样用分数表示了，它应该是：0.5·73·=573999，经过长除法验证后，它确实是成立的.

我们下面想想如何证明0.5·73·=573999是否成立？我们尝试把0.5·73·写成如下形式：

三、有理数两种定义的等价性

六、表示形式的唯一性

现在我们已经知道有理数的两种定义是等价的，不过还有两个问题待解决：任何一个无限循环小数是不是可以用唯一的分数表示？任何一个分数是不是可以用唯一的无限循环小数表示？换言之，任何一个有理数是不是有唯一的分数表示形式？任何一个有理数是不是用唯一的无限循环小数表示形式？

对前一个问题，我们很容易得到下面的结论.任何一个有理数都没有唯一分数表示形式，比如，0.3·可以写成13，26，39，…，-1-3，-2-6，-3-9，…这些分数，但是我们可以得到一个结论：任何一个有理数都可以用唯一的既约分数pq表示（其中p∈Z，q∈N+，且p，q互质）.

对后一个问题，由于每一个分数都可以用长除法写成无限循环小数的形式，我们或许直观感觉每一个有理数应该可以有唯一的无限循环小数表示形式.其实不然，比如，我们一开始提出的问题：“0.9999…=1是否成立？”告诉我们，有理数1可以表示为1.00000…和0.99999…两种形式，所以每一个有理数不一定有唯一的无限循环小数形式.

为了使得每一个有理数都有唯一的无限循环小数表示形式，我们可以规定整数和有限小数写成循环节为0的无限循环小数，如同本文的定义1.不过科学出版社出版的《数学分析（一）》[3]第177页给出了另一种巧妙的规定：

（1）当x=a0.a1a2…an>0时，其中a0∈N，aj∈N，0≤aj≤9，j=1，2，…，n，an≥1.记x=a0.a1a2…an-1（an-1）999…;

（2）当x=a0为正整数时，记x=（a0-1）.999…;

（3）0=0.000…;

（4）当x<0时，先将-x表示为无限小数，然后在所得的无限小数前加负号.

在这样的规定下，每个实数都可表示为唯一一种无限小数.

【参考文献】

[1]人民教育出版社课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书七年级数学上册[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]人民教育出版社课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3]刘名生，冯伟贞，韩彦昌.数学分析（一）[M].北京：科学出版社，2009.