基于响应面法和遗传算法的多自由度微陀螺性能优化*

郝淑英,孟 思,张琪昌,张昆鹏,冯晶晶*

(1.天津理工大学,天津市先进机电系统设计与控制重点实验室,天津 300384;2.机电工程国家级实验教学示范中心,天津 300384; 3.天津大学,天津市非线性动力学与控制重点实验室,天津 300072)

如今绝大多数陀螺处于中低精度状态,其性能优化则显着格外重要[1]。微陀螺的灵敏度和带宽是体现其整体性能的两个重要指标,通常两者是相互制约的,如何在灵敏度和带宽之间取得适当折衷是当前MEMS微机械陀螺仪技术提升所面临的巨大挑战[2]。唐海林等[3]基于Coventorware系统模型对一种振动板式微陀螺进行了特征频率分析和结构参数优化,提高了灵敏度,使其在设计上达到性能最优化。王浩旭[4]对一种新型石英微陀螺进行有限元分析,获得了尺寸参数与模态频率之间的关系,以此进行优化设计,实现了驱动频率和检测频率的相互匹配。陈李等[5]建立了电磁式微机械振动环陀螺的数学模型,得到了影响陀螺灵敏度的因素,据此对陀螺参数进行了优化设计。曹慧亮等[6]在对双质量硅微机械陀螺的检测模态深入分析的基础上,提出了偶极子原理补偿法,成功将带宽拓展了五倍以上。后续又提出了传感闭环控制器[7],将陀螺仪的带宽从13 Hz拓展至102 Hz,并可在宽温度范围内(-40 ℃～60 ℃)稳定工作。

Jian Cui等[8]提出了一种多目标微陀螺仪检测模态的力再平衡控制设计方法和配置系统参数的定量方法对微陀螺的性能进行优化,使得再平衡回路中的比例因子和非线性比开环回路提高了一个数量级,并将带宽从30 Hz拓宽至98 Hz。张正福[9]和李燕斌[10]分别将正交试验法和遗传算法引入了单自由度微陀螺结构参数的优化设计中,为陀螺优化提供了新方法。从现有研究工作来看,有关多自由度微陀螺的性能优化报导相对较少。Payal Verma[11]提出了一种双驱动单检测微陀螺,通过解耦框架的附加微梁实现了在不会降低驱动检测质量比的前提下降低驱动带宽,实现了在高操作频率下工作的要求。Ankush Jain[12]设计了一种双驱动双检测微陀螺,驱动和检测模态均通过动态放大获得较大增益,并通过大带宽提升了鲁棒性。Esmaeili[13]采用序列二次规划方法(SQP)对单驱动双检测微陀螺的灵敏度及鲁棒性进行了优化,获得了上千赫兹的宽带宽。Dunzhu Xia[14]等提出了一种新型的全解耦三轴式振动陀螺仪,采用粒子群算法(PSO)优化微梁的结构尺寸,实现了模态高度匹配,提高了其灵敏度。多自由度微陀螺由于自由度数的增多及解耦模块的加入使得结构参数成倍增加,如何将众多的结构参数进行最佳匹配以获得最优的灵敏度和带宽是提升多自由度微陀螺性能必须解决的关键问题。

针对多自由度微陀螺众多结构参数的优化设计,应建立高精度的优化模型,确定高真实性的寻优算法。目前,被广泛应用的响应面法是综合试验分析和数学建模的最经济、最佳化设计方法[15-16]。针对微陀螺灵敏度与带宽目标函数无法准确建模的困难,引入响应面法可有效解决这一问题,提高优化效率。遗传算法是基于模仿生物进化的自然选择和遗传学进化思想的具有高适应度的自适应搜索算法[17],将基于遗传算法的多目标优化算法引入微陀螺的优化可兼顾灵敏度与带宽的同时优化。因此,本文以双驱动双检测微陀螺为研究对象,基于特征提取确定约束条件,通过响应面法建立灵敏度和带宽的二阶响应面近似模型,采用多目标遗传算法对近似模型进行优化,寻找可用于指导优化多自由度微陀螺性能的方法。

1 双驱动双检测微陀螺

1.1 工作原理与结构

本文以一个典型的双驱动双检测四自由度微机械陀螺[18]为研究对象,其结构示意图如图1所示。

图1 四自由度微陀螺的结构示意图

图1中,x方向为驱动方向,y方向为检测方向,Ωz为垂直于x-y平面的输入角速度。解耦质量mf和转换质量m2形成双极解耦结构,起到隔离驱动模态和检测模态的作用。微陀螺工作时,驱动质量m1在驱动电极产生的驱动力Fd的作用下沿x方向振动,解耦质量mf由于梁k2的作用也沿x方向振动,同时转换质量m2在梁k4的作用下随解耦质量一起沿x方向振动;当系统有垂直于x-y平面的角速度Ωz输入时,转换质量m2与检测质量m3在梁k4、k5和k6的约束下沿y方向振动。通过检测质量m3内的电极进行检测,可以反映出科氏力Fc的大小,进而测定角速度Ωz。

图2 简化动力学模型

当微陀螺在x-y平面内以恒定的角速度转动时,考虑到弹性微梁的质量远远小于振动质量块的质量,可以忽略不计,因此可采用简化动力学模型描述微陀螺的振动,如图2所示。

由图2可建立微陀螺驱动方向和检测方向的动力学方程,如式(1)、式(2)所示。

(1)

(2)

通过复指数法对检测方向动力学方程计算求得y2幅值,为使振幅y2独立于科氏力,通过变换可得:

(3)

式中:

a0=m2m3

a1=m3c4+m2c5+m3c5+m2c6

a2=m3k4+m2k5+m3k5+m2k6+c4c5+c4c6+c5c6

a3=c4k5+c5k4+c4k6+c6k4+c5k6+c6k5

a4=k4k5+k4k6+k5k6

1.2 灵敏度和带宽的定义

在本文研究的双检测双驱动微陀螺中,灵敏度定义为操作频率下沿检测方向的检测质量的振动幅值:

(4)

若在操作频率下,检测模态的振幅不会随着各个参数的变化而大幅变化,则称陀螺仪是稳健的。当振幅的变化小于3 dB时,定义此区间为带宽如式(3),式中ω与ω0的差值即为带宽:

|S(ω)-S(ω0)|=3

(5)

1.3 优化流程

微陀螺的灵敏度和带宽是体现其整体性能的两个重要指标,而本文所研究模型的灵敏度与带宽是相互矛盾的,需要采用多目标优化方法找到其平衡点。因此,以获得高增益和宽带宽为优化目的,通过特征提取的动力学规律指导约束条件的确定,利用响应面法建立双驱动双检测微陀螺性能指标的二阶响应面近似模型,以微陀螺检测系统的结构参数为设计变量,灵敏度与带宽为设计目标,采用多目标遗传算法对响应面近似模型进行优化,具体流程如图3所示。

图3 多自由度微陀螺优化分析流程

2 动力学特征提取

2.1 无量纲化处理

对式(3)进行无量纲化得

(6)

式中:

式中:μ代表的是检测模态振子质量比,α代表的是振子结构频率比,λ是激振力频率和系统固有频率之比,ε是弹性梁刚度系数比,ξ1、ξ2、ξ3分别是检测方向的结构阻尼比。

图4 结构参数对微陀螺动力学特性的影响

2.2 基于特征提取确定约束条件

通过计算机代数语言MATHEMATICA对式(6)进行计算,求得质量比μ、阻尼比ξ1对微陀螺性能的影响规律如图4所示。由图4(a)可知质量比对微陀螺的增益及带宽均影响较大。随着质量比的减小,频率响应的带宽减小、增益增大,且增益的敏感度随质量比的减小而增大。图4(b)为检测方向的阻尼比ξ1变化时对幅频响应曲线的影响规律。随着阻尼比的增加,模态频率附近的响应幅值在降低,但对带宽影响很小。由于阻尼比只影响模态频率附近的响应幅值,对峰值间平坦区幅值大小无影响,即该区域对阻尼比有很好的鲁棒性,因此可忽略阻尼比对灵敏度、带宽的影响。阻尼比ξ2、ξ3对增益和带宽的影响与ξ1相同,这里不再复述。

同理也可得结构频率比和刚度系数比对系统性能的影响规律。结构频率比主要影响带宽的大小和模态频率处响应的峰值,对增益的影响不大。刚度系数比对灵敏度及带宽的影响都较大,随着刚度系数比的增加,频率响应的带宽减小、增益增大。该影响规律可用于指导获得不同性能的微陀螺的结构设计。

综合上述特征分析并参考以往文献相关参数的取值情况,本文将质量比的约束条件取为0.2～0.4;频率比的约束条件取为0.99～1.01;刚度系数比的约束条件取为6～8。

3 响应面模型构建与精度分析

在微陀螺的优化过程中,优化目标和设计变量之间的函数关系很复杂,为提高优化效率,采用响应面法寻求优化目标和设计变量之间真实函数关系的一个合适的逼近式[19]。因此采用BBD试验设计方法获得所需试验点,结合最小二乘法构建灵敏度和带宽的二阶响应面模型。

二阶响应面模型的一般数学表达式为:

(7)

式中:Y为响应值,Xi、Xj为设计变量,β0为系数的估计值,βii为二次项系数,βij为交互项系数,ε为随机误差。

建立响应面模型的一般步骤为:①采用试验设计确定试验点;②对试验数据进行拟合,建立响应面模型;③对响应面模型的精度进行分析验证。

3.1 试验设计

本文研究的微陀螺为双驱动双检测微陀螺,根据文献[18]选择了微机械陀螺仪的参数,如表1所示。

表1 微陀螺结构参数

为建立精确可靠的响应面模型,需在样本空间内合理选择试验点,保证设计变量的均布性,因此采用BBD对试验点进行选择。根据微陀螺动力学特征提取的影响规律,分别选取检测方向二自由度振动系统的振子质量比μ、结构频率比α以及弹性梁刚度系数比ε为设计变量,选取设计变量水平如表2所示。

表2 实验设计变量与水平取值

系统的灵敏度S和带宽R为优化目标,利用计算机代数语言MATHEMATICA得到相对应的响应结果,如表3所示。

表3 响应面试验设计和结果

3.2 模型构建与精度分析

应用最小二乘法对表3的数据进行回归分析,得出响应值(S、R)与设计变量(μ、α和ε)的响应面模型如下:

S=f1(μ,α,ε)=-1 671.812 43-26.665 5μ+
3 311.61α-7.017 13ε-30.55μα+
0.828 5με+8.57αε+38.757 5μ2-
1 656.75α2-0.070 675ε2

(8)

R=f2(μ,α,ε)=56 990.958 63+3 342.303 75μ-
112 390α+7.872 25ε-1 027.75μα-116.465με-

160.55αε-802.212 5μ2+56 183.75α2+8.343 62ε2

(9)

对已得到的微陀螺灵敏度和带宽的响应面模型进行方差分析可得,两模型的P值均小于0.000 1,表明模型达到了极显著水平,拟合度较好;失拟项的p值均大于0.05,表明失拟不显著,且模型R2分别为0.999 5和0.999 9,说明响应值与设计变量之间线性关系显著,数据规律能被模型较好反映。故所构建响应面模型精度较高,能够代替真实模型并用于后续的多目标寻优。

4 基于遗传算法的多目标优化

4.1 优化问题描述

微陀螺的灵敏度和带宽是相互制约的,其优化问题符合多目标优化问题的范畴。对于工程实际应用中遇到的多目标优化问题,大多数是属于相互矛盾的,将这一类问题归纳总结得其数学模型如下:

(10)

式中:f1(x),f2(x),f3(x),…,fn(x)为待优化的多个目标函数,gi(x)、hj(x)分别为等式约束和不等式约束。

基于响应面法获得双驱动双检测微陀螺多目标优化的数学模型如下:

(11)

4.2 优化结果分析

采用MATLAB里基于遗传算法的多目标优化算法对式(11)所示模型进行优化计算,设置的最优前端个体系数为0.5,种群大小为100,最大进化代数为200,停止代数为200,绘制Pareto最优解如图5所示。

图5 Pareto最优解

由图5可知,两个目标函数值是相互矛盾的,即当其中一个目标函数值减小时,另一个目标函数值会增大,这符合微陀螺灵敏度与带宽的关系。由图5 还可以看出,无论是设计变量还是目标函数值,都可为设计人员提供多种优化方案,设计人员可根据微陀螺的使用特点来决定其对灵敏度和带宽的偏好,选择合适的振子质量比、结构频率比和微梁刚度系数比。基于偏好决策则大致分为3种情况:①若对灵敏度要求较高,则应选择A区的点;②若对带宽要求较高,则应选择C区的点;③若综合考虑灵敏度和带宽,则应选择B区的点。

3个区域的最高点与最低点分别用A1、A2、B1、B2、C1、C2代表,如表4所示。由表4可得,Pareto最优曲线中A、B区中的点所对应的灵敏度及带宽相对于原设计均有不同程度的提升。结果表明,将响应面法和遗传算法相结合的优化设计方法是高效可靠的,该方法可对结构参数进行有效优化,使多自由度微陀螺的性能得到明显改善。

表4 不同优化方案结果对比

5 建模与仿真

5.1 电学模型的建立

本文建立了一种电学模型来模拟微陀螺的动力学模型,用电学参数等效陀螺的结构参数,运用这一模型仿真所优化微陀螺的性能,验证优化设计结果。

微陀螺电学模型的建立主要是依据陀螺动力学方程和电学方程的等价性。根据方程的等价性原理由陀螺的动力学方程建立电学模型,如图6所示。

图6 四自由度微陀螺的等效电路模型

图7 原结构检测二的幅频特性曲线

5.2 电学模型的仿真

对上述等效电学模型进行交流分析,可获得微陀螺驱动及检测模态的幅频特性曲线,检测二的幅频特性曲线是对微陀螺性能最直观的表现,因此将检测二的电路仿真结果与理论结果进行对比。分别对优化前的原结构和优化方案A2进行电路仿真,所得结果如图7、图8所示。

图8 优化方案A2检测二的幅频特性曲线

图7、图8分别表示微陀螺原结构检测二和优化方案A2检测二的幅频特性曲线,仿真结果中的幅值单位ν与理论结果中的幅值单位m是相对应的。根据图7、图8对比可得,优化后微陀螺的灵敏度有明显的提高,通过准确计算其灵敏度较原设计提升10.95%,3dB带宽提升50.94%。

由图7、图8中关键点的标注可知仿真结果与理论结果的共振频率与幅值的误差微小,均在1%以内,仿真结果体现了微陀螺的真实性能,验证了优化结果的正确性,体现了所提出优化设计方法的可行性。

6 结论

①通过特征分析可有效地减少设计变量的数量及确定约束条件的最佳取值范围,有效提高优化结果和效率。

②将响应面法引入多自由度微陀螺的优化设计中,可获得高精度的目标函数,解决了多自由度微陀螺灵敏度与带宽目标函数的无法建模的困难,且该方法易于与遗传算法相结合,显著提高优化设计效率。

③以灵敏度和带宽为优化目标,采用响应面法和多目标遗传算法相结合的思想对近似模型进行优化,优化后的灵敏度及带宽均得到不同幅度的提高,同时提供多种优化方案,可根据实际需要进行选择。通过仿真结果与理论结果的对比,验证了此方法的可行性,为多自由度微陀螺的结构设计与优化提供参考依据。