理想状态下基于动力学分析的“同心鼓”协作策略研究

杜文琦 刘俊麟

摘   要：本文针对“同心鼓”运动系统进行受力分析，运用动力学原理，利用先隔离再整体的思想，建立了球、鼓、绳各个部分的动力学方程并求解。描绘出排球、鼓的运动轨迹图像，寻求理想状态下团队的最佳协作策略，求得该策略下的颠球高度。最佳协作策略为在达到所要求高度、团队成员发力最小的情况下，能够使排球在鼓面上往返运动次数最多、运动轨迹最稳定，即该问题可以转化为在一定时间内通过合理安排参与人数以及力度的条件从而寻求能够达到要求高度的最多颠球次数。

关键词：动力学分析  动量定理  机械能守恒定律  同心鼓项目

1  “同心鼓”项目简介

“同心鼓”是一项近年来颇受欢迎的素质拓展项目，其蕴含着丰富的物理学知识值得我们深度探究。该项目的道具是一面牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始时，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触鼓或绳子的其他位置。

2  本文将“同心鼓”项目简化成以下模型

2.1 道具系统

一个质量为270g的排球;直径为40cm、高度为22cm、质量为3.6kg的牛皮双面鼓;连接鼓与人的长度相同的绳子。

2.2 运动系统：

队员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。排球从鼓面中心上方40cm竖直落下，由队员发力颠起排球。

3  理想状态下求解作出如下假设

（1）所有参赛队员身高、体型相同，拉绳位置一致。

（2）假设地面平坦无倾斜，风速极小无影响。

（3）忽略空气阻力、鼓面与球接触时产生的摩擦力影响。

（4）忽略排球形状、大小对结果的影响，可将排球看作质点。

（5）假设求解的模型均是平衡的，长绳不会扭转变形，拉伸程度可忽略不计。

4  本文符号说明

其中m1、m2分别表示排球、双面鼓的质量;v1、v1'， v2、 v2'分别表示排球碰撞前后、双面鼓碰撞前后的瞬时速度;a2表示初始位置到第一次碰撞时，队员合力对鼓产生的加速度;F合表示碰撞前，双面鼓上升时，所有队员通过长绳作用在鼓上的合力;hs、hq分别表示游戏开始之前排球的初始位置和第一次碰撞后排球向上运动的高度;sg表示第一次碰撞后鼓向下运动的距离;Hx、Hl分别表示项目成功后的颠球高度和理想状态下项目成功后的最佳高度;β表示双面鼓每次下降到最低点时长绳与水平面的夹角;L表示项目中相等的绳长;F1表示理想状态下，每个队员对绳施加的相等的力;?H表示平面直角坐标系的纵坐标;n表示队员人数。

5  在理想状态下，“同心鼓”受力情况的分析

由运动学分析可知，排球在碰撞前一直做自由落体运动。双面鼓在第一次碰撞前，受到队员施加在竖直方向的合力F合和自身的重力m2g同时作用，向上做初速度为零的匀加速直线运动。第一次碰撞后，双面鼓竖直向下运动，此时，队员对鼓无作用力，鼓做初速度不为零的匀加速直线运动。在队员观测到排球到达最高点减速为零时，即刻发力，双面鼓速度方向改变，做初速度不为零、加速度向上的匀加速直线运动，直至第二次碰撞。整个运动系统中，机械能一直保持不变，故，在理想条件下，从第二次碰撞开始，双面鼓和排球分别重复第一次碰撞到第二次碰撞之间的运动状态。

我们忽略碰撞过程中产生的能量损失，分析排球和鼓面瞬间的弹性碰撞。根据弹性碰撞动量守恒公式可进行分析。在理想状态（每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度），双面鼓鼓面位置一直维持水平。当排球可以一直在双面鼓中心竖直上升下降时，人尽可能少做功即为最优解。

假设在理想条件下，鼓面不倾斜，绳长一定，指定l=2m，指定n=8。由于排球与鼓组成的系统在碰撞时不受外力的作用，符合动量定理和机械能守恒，其中，我们规定，发生碰撞的位置所在直线始终与横轴处于同一条水平线上。

现根据动力学分析建立以竖向位移为纵坐标、运动时间为横坐标的平面直角坐标系如下：

根据图像，可以得出Hx、sg、hq之间的函数关系式，并结合运动系统中排球第一次自由落体运动分析可得：

通过计算可以得出Hl=0.0985F合2-7.206F合+131.26>40  设定

未知量为每人力度F1，可得出。

由该项目规定可知，成功进行的要求是颠球高度不小于40cm、队员之间的距离不小于60cm的情况下，每一组队员发力做功最小、效果最好的协作策略。即Cosβ=2/3为最佳协作策略的临界值状态。

通过分析上述方程，以?H为纵坐标，nFlsinβ为横坐标建立平面直角坐标系，可得△H- t图像。由图像分析可得出Fl=56.9/nsinβ。（Sinβ=√5/3），取队员人数为9、12、18分别进行分析可得方案：

方案一： n=9人时，队员分力F1=8.43N，排球到达高度为Hl=40cm

方案二：n=12人时，队员分力F1=6.35N，排球到达高度为Hl=40cm

方案三：n=18人时，队员分力F1=4.23N，排球到達高度为Hl=40cm

综上所述，当长绳与水平面夹角的正弦值为√5/3（即Sinβ=√5/3）、队员之间距离为60cm时，每一个人的用力能达到最小，即最优方案。

6  结语

从微观的角度分析，双面鼓面是一个作用点，在一个有限的面和线里，如果一个恒定的力作用于这个面或这条线的中点，会使得最大的力转化为此面或先的弹性势能。在排球运动中，队员想要对球进行有效的控制，其中必须要做好的就是对初始条件进行改善和控制，从而达到想要的效果。通过对于理想状态下“同心鼓”模型的动力学研究，本文对“同心鼓”运动系统各组成部分的运动进行受力分析，建立了球、鼓、绳各个部分的动力学方程并求解，得出“同心鼓”项目的最优协作策略。

参考文献

[1] 谢源.羽毛球运动中的物理学原理[J].湖南中学物理，2015，30（3）：29-30.

[2] 卓倪.物理学原理在排球教学中的运用[J].中学物理教学参考，2015，44（4）：28-29.