不完全信道统计信息反馈下的MIMO系统容量

杜 维，罗敬原，周 雯

(南京林业大学 信息科技学院，江苏 南京 210018)

0 引言

MIMO系统在发射端和接收端均配备了多个天线，可以充分利用空间资源，将通信链路分解成许多并行的子信道，大幅度提高了系统的数据传输速率，已经成为第四代(4G)和第五代(5G)无线通信系统的核心技术[1-2]。而5G在4G研究的基础上，提出了大规模MIMO的概念，进一步提升系统容量和增加小区覆盖范围。

MIMO系统的容量问题一直是国内外的研究热点，其中基于信道状态信息(Channel State Information，CSI)反馈的系统容量是该类问题研究的重要内容。基于CSI反馈的系统中，发送端利用接收端反馈的CSI，可以进行波束成形、功率控制与自适应调制等操作，有效地提升系统数据传输速率或改善误码率性能[3-11]。一般CSI反馈分为2种：即时CSI反馈和统计CSI反馈。若信道变化缓慢，采用即时CSI反馈较为合适，文献[3]采用即时CSI信息，针对放大转发MIMO中继系统设计了收发器。若信道变化迅速，采用即时CSI反馈不再合适，因为频繁的信道信息反馈将增加系统的负荷，此时采用统计CSI反馈方式较为合适。例如，文献[4]研究了基于信道均值和协方差反馈的MIMO中继系统最优发送策略，文献[5]在假设发送端具备信道协方差信息的情况下，给出了最优发送协方差矩阵的结构。

考虑到反馈信道存在噪声干扰和导频长度有限等因素的影响，即时反馈的CSI通常是有误差的，有些文献研究了不完全即时CSI反馈的MIMO系统容量[6-9]。例如，文献[6]研究了基于有误即时CSI反馈的MIMO网络中干扰对齐策略。文献[9]基于不完全信道信息反馈推导系统的成对误差概率，研究了认知多天线系统的正交空域调制技术。另一方面，信道统计信息通常由系统接收端经过一段时间测量得到，然而接收端测量使用的信道样本数目有限，反馈信道通常也存在噪声，因此反馈的信道统计信息是有误的。如果无线信道是非平稳的，其统计特性随时间缓慢变化，则反馈的信道统计信息可能存在延时误差。目前，基于有误统计CSI反馈的MIMO容量分析较少见，大多数考虑有误即时CSI反馈对系统的影响。

本文针对反馈信道中受多种因素影响而产生的有误CSI反馈，建立闭环MIMO系统模型，推导相应的闭环系统容量公式，定义反馈信噪比和相应的门限。仿真实验对比了若干典型信道反馈方式下的MIMO系统容量，分析反馈信噪比对于系统容量的影响，在若干系统配置下，给出了反馈信噪比门限，这对系统的设计有指导意义。

1 系统模型

闭环MIMO系统模型如图1所示。

图1 闭环MIMO系统模型

发送端和接收端均配备多根天线，数目分别为NT和NR。利用反馈的信道统计信息，发送端计算预编码矩阵W，将用户数据X与之相乘发送出去。信号经过无线信道H到达接收端，假设信道H是平坦衰落的，则接收信号y可以表示为：

y=HWx+n，

(1)

(2)

式中，ΘR和ΘT分别表示接收端和发送端的信道相关矩阵，均是正定的Hermite矩阵，且满足Tr(ΘR)=NR和Tr(ΘT)=NT，Tr(· )代表矩阵求迹。

(3)

(4)

为了对系统进行整体性能评估，定义闭环MIMO系统的信噪比为：

SNR≜P/σ2，

(5)

式中，P为发送总功率。

2 闭环MIMO系统容量和反馈信噪比下限

2.1 开环容量

如果发送端不知道信道状态信息，则最优的预编码矩阵是单位阵，每根天线的数据子流应采用等功率分配，此时系统的开环容量为：

(6)

式中，符号E(·)代表数学期望，(·)H为矩阵的Hermitian转置运算。

2.2 基于完全统计CSI反馈的闭环容量

如果发送端得到的统计CSI是完全的，即得到的2个信道相关矩阵没有误差，则最优发送信号协方差矩阵Q的特征向量构成的矩阵UQ满足[18]：

UQ=UΘT，

(7)

Q=E[(Wx)(Wx)H]=WWH。

(8)

利用ΘT和ΘR，最优功率分配矩阵ΛQ可以通过遍历搜索法[16]或文献[17]提出的接近最优功率分配方法得出。这样最优发送协方差矩阵Q可以由式(8)求出，系统的闭环容量为：

(9)

式中，ΛΘR是ΘR特征分解中的对角阵。

2.3 基于不完全统计CSI反馈的闭环容量

如图1所示，当发送端得到的统计CSI是不完全的，即反馈的2个信道相关矩阵存在误差，为了减小误差的影响，首先做如下操作：

(10)

式中，符号=：代表赋值运算，这样可以保证信道相关矩阵是Hermite矩阵，然后做归一化操作：

(11)

(12)

预编码矩阵可以表示为：

(13)

(14)

整个系统的运作流程归纳如下：

④ 根据式(13)求出预编码矩阵W，与用户数据x相乘发送出去。

3 反馈信噪比门限

Copen(NT，NR，SNR)]。

(15)

4 仿真结果

采用数值仿真方法研究了不完全统计CSI下的MIMO系统容量。信道采用MIMO Kronecker模型，其中的信道收发相关矩阵采用指数模型[19-20]，矩阵的第(i，j)个元素是ρ|i-j|，0<ρ<1是常数。对于收发相关矩阵，均设定ρ=0.5。MIMO系统的开环容量采用式(6)计算，理想统计CSI反馈的系统容量采用式(11)计算，非理想统计CSI反馈的容量采用式(16)计算。

4.1 反馈信噪比对系统容量的影响

图2描述了不同反馈信噪比下的系统容量，系统的天线数目NT=NR=2。考虑了2种系统信噪比情况，分别对比了有误统计CSI反馈、无误统计CSI反馈和开环3种情况下的系统容量。

图2 不同反馈信噪比下的系统容量

由图2可以看到，随着反馈信噪比SNRfeed的增加，有误统计CSI反馈下的系统容量也随着增加；在反馈信噪较小时，系统容量可能小于开环容量。例如，对于SNR=5 dB，当反馈信噪比大约低于9.3 dB时，有误统计CSI反馈下系统容量小于开环容量3.06 bit；随着反馈信噪比的增加，系统容量逐渐增加并接近上限3.15 bit，这也是理想统计CSI反馈的容量。当SNR=10 dB时，也出现类似现象。

图2表明，在系统设计时，当反馈信噪比门限高于某个值的时候，闭环系统容量相对开环容量才有正增益，此时的反馈才有意义。

4.2 不同反馈方式的系统容量

图3对比了不同系统配置下若干反馈方式的容量，其中图3(a)为3×3系统，图3(b)为4×4系统。考虑了4种反馈方式，包括有误统计CSI反馈、无误统计CSI反馈、无误即时CSI反馈和开环(不反馈)方式。

图3 不同反馈方式的系统容量对比

整体而言，可以发现无误即时CSI反馈容量远高于其他几种方法，这是因为发送端知道每一时刻的信道状态信息；相比其他方式，该反馈方式的反馈信息量最大。对于有误统计CSI反馈，随着反馈信噪比的增加，曲线整体上移，即给定系统信噪比，系统容量随反馈信噪比增加而增加。如图3(a)所示，当系统信噪比是2 dB时，反馈信噪比5，8，10 dB对应的系统容量分别是3.11，3.16，3.19 bit。而且，随着反馈信噪比的增加，有误统计CSI的系统容量逐渐逼近其上限——无误统计CSI反馈的容量。还发现，在低系统信噪比时，有误统计CSI反馈的容量大于开环容量，但是随着系统信噪比的增加，情况会逐渐相反。如图3(b)所示，当系统信噪比SNR=4 dB时，反馈信噪比为5 dB的容量是5.2 bit，约等于开环容量；但是在SNR=6 dB时，该容量是6.5 bit，小于此时的开环容量。

总之，无误即时CSI反馈容量高于其他方法；有误统计CSI的反馈容量随着SNRfeed的增加而增加；在低SNR时，相对于开环方式，有误统计CSI反馈的系统更容易产生正容量增益。

4.3 反馈信噪比门限

图4描述了不同系统配置下的反馈信噪比门限SNRTh，该门限按照式(17)求出。考虑了3种天线对配置下的系统，包括2×2，3×3，4×4系统。可以发现，SNRTh随着系统信噪比的增加而增加，在低SNR时门限增加较快，在高SNR时SNRTh增加较为缓慢。在低系统信噪比时，低天线对配置系统的SNRTh比高天线对配置的系统高。例如，对于SNR=4 dB，2×2系统的SNRTh是6.6 dB，高于3×3系统的5.13 dB。但是随着SNR的增加，情况逐渐变的相反。例如，在SNR=12 dB时，2×2，3×3，4×4系统对应的SNRTh分别为12.4，12.6，13.5 dB。总之，该结果给出了若干参数对反馈信噪比门限的影响，对于系统设计有一定参考作用。

图4 不同系统配置下的反馈信噪比门限

5 结束语

研究了基于统计CSI的闭环MIMO系统容量，分析了反馈信噪比对系统容量的影响，对比了若干典型反馈方式下的系统容量。结果表明，当反馈信噪比门限高于某个值的时候，闭环系统容量相对开环容量才有正增益，在低SNR时，基于有误统计CSI反馈的系统更容易产生正容量增益；反馈信噪比门限随着系统信噪比SNR的增加而增加；在低系统信噪比时，低天线对配置系统的反馈信噪比门限比高天线对配置的系统高，但是在高系统信噪比时，情况相反。研究结果将对MIMO系统的工程实践应用有一定的参考作用。