对一道初中数学压轴题的解读

魏建军

中考压轴题涉及了很多的知识点，也蕴含非常丰富的数学思想方法，更渗透了众多的数学解题技巧，最能体现学生知识整合与运用、问题分析与解决能力.

2009年十堰市中考数学压轴题是这样的：

如图1所示，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.（3）如图2所示，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.

从解题过程看，该题蕴涵的數学思想方法如下：

1.数形结合思想方法.此题第（1）问的方法是把图形上的点的坐标代入函数表达式，求出未知的系数或表达式，这是由“形”得“数”的结论.第（2）问由△CMP为等腰三角形在抛物线对称轴上寻求一点满足条件.可以确定在CM，CP，PM三条线段中腰与底的问题，运用直角三角形勾股定理及等腰三角形的性质解决此问题.第（3）问的方法①根据E点坐标（x，-x2-2x+3）求出线段EF，FO，BF，进而用含x的代数式表示四边形BOCE的面积，求出x的值，是由“数”得“形”的结论.

2.化归思想方法.此题第（3）问求一般四边形BOCE的面积的最大值，其方法①或②中均采用了将其转化为三角形面积与梯形面积之和来解决，将不规则图形面积通过化归思想转化为特殊图形的面积和.

3.分类讨论思想方法.此题第（2）问在探索抛物线上对称轴是否存在一点P，使△CPM为等腰三角形中，学生须多个角度分析找准△CPM的三边CP，CM，PM中哪条为腰，哪条为底，由等腰三角形定义可探究出以CM，CP为腰或以CM，MP为腰或以PM，CP为腰三种情况来考虑问，体现了分类讨论思想.

4.数学建模思想方法.此题第（3）问求四边形BOCE的面积的最大值，其方法①根据E点坐标（x，-x2-2x+3）求线段EF，OF，BF，用含x的代数式表示四边形BOCE的面积，从而构建S与x的二次函数，进而运用配方法及二次函数性质解决问题，方法②将四边形BOCE面积转化为△BEC和△BOC面积之和，由于S△BOC是定值，所以要使四边形BOCE面积最大，须使△BEC最大，使△BCE的边BC上的高最大即可，分析得出E点在与BC平行且与y=-x2-2x+3有唯一交点的直线上，从而构建得出直线EG方程与抛物线y=-x2-2x+3的二元二次方程组，进而转化为一元二次方程，并利用判别式解决，这样的建模思维可使问题的解决更直观.

该压轴题包罗了全部的数学思想方法，认真分析此题不仅能体会各种思想方法之间的联系，而且能学习到各种思想方法在解题中的运用技巧.因此，作为数学教师应当重视一题多变、一题多解的教学，重视数学思想方法的渗透，提高分析问题和解决问题的能力.