断裂能与统一损伤加载面描述的混凝土本构模型

何伟，谷钰，徐颖



断裂能与统一损伤加载面描述的混凝土本构模型

何伟，谷钰，徐颖

(安徽理工大学 土木建筑学院，安徽 淮南 232001)

构建一个混凝土损伤本构模型，研究目的为解决现有模型中存在的损伤演化、双轴强度与网格尺寸依赖性问题。基于试验观察，提出符合实际的压缩损伤演化方程；在不可逆热力学的框架下，利用当量转化应力状态的方法，在应变空间构造统一损伤加载面，以表达混凝土的双轴强度；借助断裂能对损伤阀值正则化的方法，以合理反映应变软化过程中的能量耗散，并达到消除网格尺寸依赖性之目的。采用编制的程序，对单轴与双轴加载、四点弯非比例加载等混凝土试验进行数值计算，验证了模型的合理性与有效性。研究结果表明：模型不仅解决了上述存在的问题，而且具备在较复杂应力路径下预测结构的承载力、变形及裂缝扩展的能力，可为混凝土结构的定量评价提供支持依据。

损伤演化；双轴强度；网格尺寸依赖性；当量转化；损伤加载面；断裂能；应变软化

数值计算，与理论分析和试验研究相并列，是解决混凝土结构问题的第3种科学方法。本构模型是数值计算的关键部分，因此，其研究具有重要的理论与工程意义。由于能解释混凝土因微裂缝的演变所诱致的非线性物理机制[1]，标量损伤本构模 型[2−4]被广泛应用于非线性结构分析，但仍存在以下问题。其一，普遍应用的Mazars压缩损伤演化方程[4]，不足以表达高压缩应变水平下的混凝土行为。其二，应力驱动的损伤模型[5]，难以区分因应变软化和因卸载引起的应力减小力学机制，即材料分别处于上述2类状态时，应力增量均指向损伤加载面内部；应变驱动的损伤模型[6−10]，能解决前述问题，却无法有效描述混凝土在双轴应力状态下的强度特征，因而也不能反映结构的实际工作状态。其三，传统理论框架下的损伤模型[6]，不仅在物理上无法表达应变软化过程中的能量耗散机制，而且在数值结果上存在网格尺寸依赖性[11](mesh-size dependency)：当单元尺寸趋向0时(对应于离散已知域的单元数量趋向无穷大)，材料的破坏趋向零能量耗散，这显然违背了物理事实。需要指出，这里的网格尺寸依赖性问题，与通常意义上的单元尺寸影响计算精度问题，存在本质的区别，前者源自应变软化诱致的物理控制方程的类型改变，后者则源于有限元空间离散误差和插值误差。网格尺寸依赖性的存在，削弱了损伤模型的物理意义与预测价值。针对以上问题，本文提出了符合混凝土实际力学响应的压缩损伤演化方程；从不可逆热力学基本定律出发，在应变空间构造统一损伤加载面，演绎出本构的全部方程，摒弃有争议的应变等效、能量等效等唯象学建模假定；注意到应力状态是混凝土强度的主控力学机制这一事实，利用当量转化应力状态的方法，来表达混凝土的双轴强度；借助断裂能正则化，以达到缓解网格尺寸依赖性之目的。通过与现有模型及试验结果的对比，验证了建议模型的合理性与有效性。

1 模型构建

1.1 热力学框架

在率无关、小应变和等温条件下，设受损混凝土的Helmholtz自由能为

式中：为二阶应变张量；为标量损伤变量；0()为无损混凝土的自由能，定义为

式中：0为材料的质量密度，设为常量；0为无损混凝土的四阶弹性刚度张量；“：”为张量缩并运 算符。

式中：为二阶应力张量。

将式(1)对时间微分，代入式(3)，由此得

对式(1)求的偏导，代入式(5)，并利用式(2)，于是可导出材料的本构方程为

考虑到式(5)和式(1)，式(4)可进一步写为

式(7)表明，只要损伤变量在损伤发展过程中是单调增加的，即能保证以式(6)表达的本构方程满足热力学第二定律。

1.2 损伤加载面

至此，定义应变空间下的统一损伤加载面为

作为式(12)的一个特例，初始损伤加载面0为

需要指出，式(14)实质上是在应变空间定义了材料的极限强度面。

1.3 损伤演化

为刻画拉压力学响应迥异的混凝土行为，将损伤变量以拉伸损伤变量t和压缩损伤变量c的加权之和[4]来表达

这里，t与c分别为

t采用指数演化规律[8]：

(a) 单轴拉伸；(b) 单轴压缩

为方便比较，现给出广泛应用的Mazars压缩损伤演化方程[4]：

式中：c与c为控制压缩应力–应变曲线形状的材料常数。

图2 Mazars的单轴压缩应力−应变关系

1.4 断裂能正则化

断裂带理论[11](Crack band theory)通过断裂能描述准脆性材料断裂过程中的能量耗散，其基本思想是根据单元尺寸，调整应力–应变曲线的软化段，以保证每单位面积内产生一条连续裂缝所需的能量保持一致，从而达到消除网格尺寸依赖性之目的。该理论在本构层面上的应用，又常被称为断裂能正则化。

不失一般性，考虑材料处于单轴受拉应力状态，即

利用式(8)与式(13)，可写出

根据断裂带理论[11]，存在以下关系：

式(24)的物理意义见图1(a)。

将式(6)代入式(24)，并考虑到式(19)与式(23)，从而得到

类似地，在单轴压缩应力状态下，重复以上过程，有以下关系式：

式(28)的物理意义见图1(b)。

2 模型验证

根据建议的本构模型，编制相应的程序，对若干经典混凝土试验[13−16]进行有限元计算，并和试验结果进行比较，以验证模型的合理性与有效性。各验证算例的混凝土材料参数见表1。另外，除非特别指明，各算例所用单元均为四节点四边形平面应力等参单元，计算结果分述如下。

2.1 单轴加载

为在材料层次上验证模型的准确性并探讨模型在二维与三维情况下的适用性，对混凝土试件的单轴拉伸[13]与单轴压缩[14]试验进行数值计算。所用单元分别为二维四节点四边形平面应力单元与三维八节点六面体实体单元。由图3可见，计算值与试验值吻合较好，反映模型可以准确地再现混凝土在单轴加载条件下的应力与应变特征；而且，计算结果也表明建议模型适用于三维计算。

表1 算例的材料参数

注*：tu与cu分别为单轴拉伸与单轴压缩极限应变，为传统模型的材料参数，用于单边切口梁四点弯非比例加载的数值分析

(a) 单轴拉伸；(b) 单轴压缩

2.2 双轴强度

为检验和比较现有模型与建议模型对混凝土双轴强度的表征能力，对Kupfer的混凝土双轴强度试验[15]进行数值模拟。

为方便比较，表2给出了现有文献中典型当量应变的表达式[4, 7−8, 10]。

表2 典型当量应变的表达式

图4 混凝土双轴强度包络线的比较

2.3 单边切口梁四点弯非比例加载

单位：mm

采用3种不同疏密的有限元网格(即粗、中和细网格)对结构进行离散，对应的单元数分别为1 445，2 060和4 090个，网格加密区的最小单元尺寸分别为5 mm×5 mm，3.75 mm×3.75 mm和2.5 mm×2.5 mm，如图6所示。

从图7(a)可见，传统模型的计算结果存在显著的网格尺寸依赖性，即当单元尺寸足够小时，计算结果并不收敛于试验上的物理意义解；相反，图7(b)则表明建议模型在很大程度上消除了网格尺寸依赖性，在不同疏密网格下得到了相当一致的计算结果。

(a) 粗网格；(b) 中网格；(c) 细网格

(a) 传统模型；(b) 建议模型

(a) 结构变形(节点位移放大100倍)；(b) 裂缝扩展路径

因在不同疏密网格下根据建议模型得到的数值模拟结果较为一致，故此处仅给出在中网格下得到的最终结构变形与裂缝扩展路径。图8(a)清晰地表明，切口区域的变形特征为在横、竖向上均有位移，表明结构的破坏是混合型开裂(Mixed Mode Fracture)，与试验观察[16]一致；图8(b)则显示了计算与试验得到的裂缝扩展路径十分吻合。

3 结论

1) 模型解决了当前基于应变驱动的混凝土损伤本构中存在的问题，即压缩损伤演化、双轴强度与网格尺寸依赖性问题。通过对以上问题的解决，进一步增强了混凝土损伤本构模型的物理意义，提高了其预测价值。

2) 文中建议的统一损伤加载面不仅有直接的应用价值，如可用于混凝土弥散式开裂模型，而且其构造思路也可为发展其他准脆性材料的极限强度面提供借鉴。

3) 在材料层次上，模型能较全面地刻画混凝土的主要力学特性：拉压力学响应迥异、应变软化与刚度退化。在结构层次上，模型具备了在较复杂应力路径下预测结构的承载力、变形及裂缝扩展的能力。因此，模型可为混凝土结构的工程设计及性能评价提供定量的支持依据。

4) 从实用角度看，模型具有物理内涵明确、收敛性较好、参数较少且可通过常规试验加以确定等优点，适合于实际工程结构的大规模计算，符合理论服务于工程实践的主要宗旨。

[1] 梁诗雪, 李杰, 俞峰. 基于多尺度分析的混凝土随机损伤本构关系[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(9): 1249−1257. LIANG Shixue, LI Jie, YU Feng. A multi-scale analysis-based stochastic damage model of concrete[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2017, 45(9): 1249−1257.

[2] 商怀帅, 杨鲁生. 基于损伤理论的混凝土双轴压本构模型[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2013, 44(1): 340− 344. SHANG Huaishuai, YANG Lusheng. Constitutive model of damage of concrete under biaxial compression[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2013, 44(1): 340−344.

[3] 李忠献, 陈宇, 李宁. 基于材料损伤的钢筋混凝土构件损伤模型[J]. 工程力学, 2014, 31(6): 53−59. LI Zhongxian, CHEN Yu, LI Ning. A damage model for reinforced concrete members based on material damage[J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(6): 53−59.

[4] Mazars J, Pijaudier-Cabot G. Continuum damage theory—application to concrete[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1989, 115(2): 345−365.

[5] Manzoli O L, Maedo M A, Bitencourt Jr L A G, et al. On the use of finite elements with a high aspect ratio for modeling cracks in quasi-brittle materials[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2016, 153: 151−170.

[6] Alam S Y, Loukili A. Transition from energy dissipation to crack openings during continuum-discontinuum fracture of concrete[J]. International Journal of Fracture, 2017, 206(1): 49−66.

[7] Pegon P, Anthoine A. Numerical strategies for solving continuum damage problems with softening: application to the homogenization of masonry[J]. Computers & structures, 1997, 64(1/4): 623−642.

[8] Oliver J, Cervera M, Oller S, et al. Isotropic damage models and smeared crack analysis of concrete[C]// Proceedings of the 2nd International Conference on Computer Aided Analysis and Design of Concrete Structures. Swansea, U.K.: Pineridge Press, 1990: 945− 957.

[9] Juárez-Luna G, Méndez-Martínez H, Ruiz-Sandoval M E. An isotropic damage model to simulate collapse in reinforced concrete elements[J]. Latin American Journal of Solids and Structures, 2014, 11(13): 2444−2459.

[10] De Vree J H P, Brekelmans W A M, Van Gils M A J. Comparison of nonlocal approaches in continuum damage mechanics[J]. Computers & Structures, 1995, 55(4): 581−588.

[11] Bažant Z P, Oh B H. Crack band theory for fracture of concrete[J]. Materials and Structures, 1983, 16(3): 155− 177.

[12] 过镇海. 混凝土的强度和变形: 试验基础和本构关系[M]. 北京: 清华大学出版社, 1997. GUO Zhenhai. Concrete strength and deformation: test basic and constitutive relation[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 1997.

[13] 张其云. 混凝土随机损伤本构关系研究[D]. 上海: 同济大学, 2001. ZHANG Qiyun. Study of stochastic damage constitutive relationship for concrete material[D]. Shanghai: Tongji University, 2001.

[14] Karsan I D, Jirsa J O. Behavior of concrete under compressive loadings[J]. Journal of the Structural Division ASCE, 1969, 95(12): 2543−2563.

[15] Kupfer H, Hilsdorf H K, Rusch H. Behavior of concrete under biaxial stresses[J]. ACI Journal, 1969, 66(8): 656− 666.

[16] Gálvez J C, Elices M, Guinea G V, et al. Mixed mode fracture of concrete under proportional and nonproportional loading[J]. International Journal of Fracture, 1998, 94(3): 267−284.

Concrete constitutive model described by fracture energy and unified damage loading surface

HE Wei, GU Yu, XU Ying

(School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China)

This paper proposes a concrete damage constitutive model that aims to solve problems of damage evolution, biaxial strength and mesh-size dependency in existing models. Based on the experimental observation, a real compressive damage evolution equation was proposed. In the framework of irreversible thermodynamics, a unified damage loading surface was developed to describe the biaxial strength of concrete by the method of transforming stress states into an equivalent strain. The problem of mesh-size dependency was solved by the fracture energy regularization of damage thresholds, in which the energy dissipation can be evaluated properly during the strain softening. With the application of the user program, the rationality and validity of the model were demonstrated by the numerical calculation of concrete specimens subjected to different loadings, which include uniaxial and biaxial loadings, and the four-point bending with non-proportional loading. The results show that the model not only solves the aforementioned problems, but also has the ability to predict the structural load-carrying capacity, deformation and crack propagation under complex stress paths, and provides a support to the quantitative evaluation of concrete structures.

damage evolution; biaxial strength; mesh-size dependency; equivalent transformation; damage loading surface; fracture energy; strain softening

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.04.023

TU528

A

1672 − 7029(2019)04 − 1008 − 08

2018−05−10

国家自然科学基金资助项目(51208005)；安徽理工大学博士基金资助项目(11084)

何伟(1977–)，男，安徽桐城人，讲师，博士，从事土木工程材料的本构建模研究；E–mail：whe@aust.edu.cn

(编辑 阳丽霞)