篮球罚篮落点对命中率影响的数学模型

张弘毅

摘 要：本文通过大量的模型假设和简化，将篮球运动中的罚篮简化为一个几何概型问题，由此得到的结论是：随着出手时的角度增加，篮球的运动轨迹变高，落筐时的速度与水平方向的夹角也变大，命中率上升。这一定性的结论与真实的篮球比赛体现出的规律相符，同时也能够为投篮训练提供一些指导。本模型做出的假设和简化很多，比较粗糙，因此有很大的改进空间。

关键词：罚篮；命中率；数学模型；入筐角度；命中区域

中图分类号：G841 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）05-0213-03

1 课题背景

篮球，目前最热门的体育运动之一。不仅需要个人能力的展现，还需要团队每个队员的合作，配合以及战术的制定。而当对方犯规时，罚球，就主要看的是你罚篮的命中率了。在无数的篮球比赛中，罚篮是非常重要的得分手段。它是唯一一种不允许对方进行防守的得分方式。强如NBA球员，也有很多人的罚球成为球队的弱点，在重要的比赛中受到针对，必须被教练员换下，无法发挥自己的作用。典型的例子如，沙克·奥尼尔、德怀特·霍华德、德安德鲁·乔丹等。

在生活中，球场上，有的人，罚篮板球时总会打到篮筐而弹出，命中率低，而有些人却能做到百发百中。其中自然会有所谓的“手感”因素，也就是对球掌控能力的好坏。对于经常投篮的球员来说，经常打篮球和好久没打篮球两种情况，对球的掌控熟练度是有很大差别的。除此以外，个体反应快慢，身体素质的差异也影响命中率。显然，一名专职篮球运动员和业余爱好者对抗，那么运动员更能够保证做出标准或高难度的动作。命中率自然也大有可能提高。

上述这些，再加上肌肉记忆和心理作用等方面的差异，归根结底都是从个体生物学角度找原因。但从运动训练角度来说，这些个体差异甚至包含太多的随机因素，不能够成为训练项目设计的依据。我希望通过本文，讨论篮球入筐落点与命中率的关系，以科学的角度认识罚球的命中率，从而可以为投篮训练提供一些新思路新想法。

2 数学模型

2.1 参数定义

入筐角度（θ）：篮球刚碰上篮筐所在平面接触时篮球速度与水平面的夹角。

落点：篮球刚与篮筐所在平面接触时的接触点。

总区域（S）：作为一个球员，即使在最极端情况下，投出的罚球落点也不会离开这样一个区域，该区域称为总区域。

命中区域（S阴影）：能进筐的篮球，其落点所在的区域。

出手角度（α）：篮球出手时的速度与水平方向的夹角。

命中率（P）：篮球入筐的概率。

2.2 模型假设

从模型的复杂性不能过高和真实性不能太差两个方面进行考虑，做如下假设：

（1）忽略篮球的下旋角速度，认为是在空气中平动，而不转动；（2）忽略篮筐的弹性，认为篮筐无弹性是刚体；（3）忽略空气阻力；（4）因篮球运动速度较大，在篮筐附近，篮球的运动轨迹近似看作直线运动；（5）总区域是篮筐的正上空，其面积就等于篮筐围成的面积；（6）球员投出的罚球落点在总区域中呈均匀分布，因此由几何概型，P=S阴影/S。

2.3 数学模型

模型以国际篮球（FIBA）标准为基础建立，篮筐高度 H=3.05m，篮筐中心与罚球人员距离L=4.225m。

篮球半径r=12.3cm

篮筐内半径R=22.5cm

以篮筐为主要对象考虑如下：

①当落筐角度θ=45°时，如图1，当球的重心位于篮筐半面内时，如图1所示阴影面积为篮球重心所能穿过的点所组成的重心区域。

又因为以45°角度斜向下落，可以将篮筐周围的运动近似看做直线运动，所以将重心区域斜向上45°移动r的距离，再由竖直方向投影得到落点的大致区域位置如图2所示。

又因为当篮球落点在最前沿，如图3所示

篮球具有斜向下45°的速度V，所以水平分速度VX= Vcos45°=V，竖向分速度Vy=Vsin45°=V

在篮球接触篮筐瞬间会受到视为刚体篮筐一个向的支持力，足以改变篮球运动时的竖直分速度Vy，篮球会被弹飞。所以当篮球沿切线l斜向下45°运动时，正好不接触篮筐进筐。

∴过圆心A作AB⊥l，延长AC交l与E

∵∠BDF=45°，∠BDC=135°，∠ABD=∠ACD=90°

∴∠BAE=∠AEB=45°

∴△ABE为等腰直角三角形

∵AB=AC=r=12.3cm

AE=12.3×≈17.39cm

DC=CE=12.3×（-1）≈5.09=d

所以落點实际位置应为图5所示的阴影部分。

阴影部分可简化分为两部分计算面积S阴影，上半部分是半圆，下半部分不是个规则形状，限于我的知识水平，将其近似看作是半个椭圆

S上=≈163.34cm2

S下=≈81.83cm2

S阴影=S上+S下=245.17cm2

S筐=πR2=1589.62cm2

P1==0.1542=15.42%

②当θ=60°时如图6

R-r=10.2cm

X==7.1cm

∵∠BDE=60°，∠BAC=60°

∵AC=ABAD=ADBD=DC

∴△ADB≌△ADC

∴d==7.1cm

S=R-r+x=17.3cm

22.5-7.1=15.4<17.3cm

△r=17.3-15.4=1.9cm

S上≈163.34cm2

S下≈132.92cm2

S阴影=S上+S下=296.26cm2

P2==0.1864=18.64%

综上：P1

同以上①②计算方法，当θ=30°概率为P3，

∴P3

篮球的P（命中率）-θ（落筐角度）图象大致如图8，随着落筐角度增加，罚球的命中率单调上升。

根据假设3，篮球运动轨迹是一条抛物线，若球的初速度有一个上限（即人手腕的力量不能无限上升），出手角度就只能在一个特定的范围内变化，才有可能命中。定性地说，出手角度越大，落筐角度也越大。根据上述模型的计算结果，在可接受范围内尽量投高弧线的罚球，命中率就能越高。

3 对数学模型的分析

3.1 误差分析

首先，下旋对于投篮来说非常重要。在无旋转情况下，当球触碰篮筐的前沿，会被弹力沿撞击速度方向的反方向弹飞，但若存在下旋角速度，会给篮球一个与相对运动方向相反，也就是一个近似向下的摩擦力，若足够大可以使篮球进筐，命中率提升。因此我在本文中忽略了下旋角速度，这是可以改进的地方。

第二，我忽略了篮筐的弹性，即把篮筐作为刚体，这也是影响命中率的重要因素，在篮球撞击时，篮筐会发生形变，不会像未发生形变时类似于镜面反射，而是反射方向会偏离一定角度，从而影响篮球之后的运动轨迹。

第三，我在计算中认为命中区域由半个圆和半个椭圆组合而成。半圆部分在模型中是精确的，而半椭圆部分是近似的。命中区域实际上可以精确地计算出来，但这超过了我的数学水平，故用了这样一种近似，在未来这是一处可改进的点。

第四，本文只讨论了落筐角度的因素，正如课题背景部分所述，罚球综合地考验着球员的生理、心理、技巧等。这许多因素都没有在本文中加以讨论，但是为了讨论这些因素，一方面可以把它们与总区域的面积建立联系，另一方面也可以考虑放弃假设6，认为投出手的篮球“更可能”命中篮筐中心，而不是均匀分布于总区域中。

最后，假设3和假设4都导致了模型中涉及的篮球运动轨迹与现实存在偏差。这也是可以改进的。

3.2 指导应用

通过本文的分析，我们得到定性的结论：在投篮时，应使篮球运行轨迹抛物线高，弧度大，保证入筐时的角度足够大，就能使触筐的机会减少，增加“空刷”的概率，提高罚球的命中率。这一结论可以应用于投篮训练。

3.3 改进的潜力

通过以上分析不难指出这一数学模型可供改进的一些点：

（1）本文简化了模型，未涉及篮球运动时自转问题、篮筐弹性问题以及空气阻力的考虑。为了考虑这些因素，可以简单地在本模型的基础上加入相应的修正量。（2）为了简化计算，形状复杂的命中区域被我简化成了，方便计算的半圆+椭半圆图形来计算，为了算得更精准，可以用MATLAB等工具精确化。

4 结论和建议

本文研究了罚球时的篮球入筐的概率，用忽略空气阻力、不绕质心的转动的情况下的运动来讨论命中率。

通过建立模型，得到了罚球时篮球入筐的运动情况并简化，并得到篮球的入筐角度与命中率的关系，命中率随入筐角度的增大而增大，当篮球的入筐角度在合理范围内达到最大值时，命中率达到最高。

教练员在日常练习中要特别加强罚球规范性的要求，使运动员的投篮弧线和入射角度尽量大，提高命中率与得分率。

最典型的例子，NBA的两场季后赛中，第一场小乔丹获得了12次罚球，罚中5球，快船赢得比赛；第二场小乔丹获得了17次罚球，命中6球，快船输掉了比赛。他的罚篮次数从常规赛的5.7次暴涨到14.5次，可无论他如何宣称自己加练了罚篮，他的命中率仍是可怜的37.9%。

罚篮和投篮的命中率，会决定球队的输赢，教练员需加强训练，使运动员形成肌肉记忆，提高团队水平。

参考文献

[1] 李铁，贺丽.篮球罚球技术中“抛体运动方程”应用研究[J].湖北体育科技， 2015，34（07）：612-614.

[2] 杨爱茜，李辉.基于MATLAB對篮球运动轨迹的仿真研究——篮球运动轨迹理论性分析[J].体育科技，2015，36（05）：27-29.