重新定义，才能辨明真假分数

许瑞丰

[摘 要]对假分数的认识障碍一直是分数教学的顽症。由于学生认定了平均分的份额总量不能超过“单位1”，于是，他们始终无法接受分子大于分母。为了帮助学生克服这一障碍，教师要另辟蹊径，从分数的除法定义入手进行教学。

[關键词]分数；分数值；假分数；零分数

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0042-01

同分母加减法的教学重点是讲解并揭示其算理，让学生能熟练无误地进行计算。但实际教学中，不少学生的做法令人瞠目结舌。那么，学生究竟会有哪些失误？是什么原因引起的？又该如何弥补挽救呢？

一、错认分数值的上下限

[片段一]计算[38+48]。有的学生认为3个[18]加上4个[18]等于7个[18]，即[78]；有的学生认为[38]代表将物体均分为8份取其中3份，而[48]则表示把另一个物体均分为8份，取其中4份，所以，是将两个相同物体平分成16分，前后一共取7份，即[716]。

[片段二]计算[38+68]。对于[98]这一结果，有学生认为不正确，因为这相当于将一个物体平均分成8份，然后共取走9份，超出了总份数。

[片段三]计算[34-34]。一些学生声称结果“0”是错的，理由是分子不能为0；有的则表示分母相减为0，于理不合。

这三个教学片段暴露出以下问题：学生对分数的认识仅局限于分子不为0的真分数和分子等于分母的这种假分数，将0分数和超过1的分数屏蔽在意识之外。教材在界定份数时，是将整体看作“单位1”。因此，对学生而言，“单位1”就是一个不可超越的囊括一切的整体，当相对量发生变化时，对“单位1”的认定就会产生混乱。换句话说，一旦选取的份数超过“单位1”分的总份数时，学生就会犯迷糊。

二、平均分，分不清真假

对上述问题的出现，笔者进行了及时总结和反思：教学分数时，对“份数”的定义不够明确。按照“划分份数取其中若干”来编制材料，虽然能直观地揭示出分数的基本涵义，但是也存在一些弊端。

弊端之一就是不能解释0分数的存在。纵观教材，无一不是从平均分切入；这里，平均分的对象是一个单件的物体，或者有许多单个的物体组成的集合，分数表示的是获取份数与总体之间的比例；从这点上讲，分数的分子下限不能达到0。因为0就代表没有选取，毫无意义。

弊端之二就是不能证实分子大于分母的假分数的存在。教材设计中，通过让学生分拨、涂画、对折、述说等活动，认知和接受“单位1”和平均分概念。因此，学生基于实物分配的刻板认识，就会形成总份数不能大于整体1的僵化认识，即分数的分子不能大于分母。

弊端之三就是教师解读教材不到位。教材一味强调平均分，把单个整体看作单位“1”，从而导致学生无法参悟总份数逾越“1”这一整体的情形。教师忽视了分数的除法定义（为了将无法整除的余数整合到商数中，从而衍生出分数），让学生误以为分数就是均分后的取值结果。

三、另辟蹊径，重新定义

教学中又该如何规避以上障碍呢？首先，从除法运算引入分数。在学生遇到两数相除有余数的认知冲突时引入分数进行表示。可以这样设计新课导入：①把6块巧克力平均分给2个小孩，每人分得几块？②把1块巧克力平均分给2个小孩，每人分得几块？③把3块巧克力平均分给2个小孩，每人分得几块？学生根据题意列式，对算式“[1÷2=]”“[3÷2=]”产生困惑，并产生探究动机。这时教师乘势推出“分数的认识”。从第二个问题的研究开始，认识分数[12]。这样将除法和分数融为一体，让学生认识到分数是商数带余的一种简写形式。

其次，引入“数轴”阐释分数。在教学中，为了将分数的概念与整数对上号，不妨引入“数轴”进行直观演示。数轴模型的分数表示是对矩形模型的二次简约抽象，将原来二维的平面面积表示的份数，用一维线段长短来表示，所有具备具体尺寸的物体到这里统一简化为“单位1”，学生对1和2的认识会变成份数而不是整数。如[35]、[45]这两个分数就可以在数轴中表示：

[ ][0][1]

综上所述，从新的角度理解和领悟分数，可以排除学生无法接纳0分数和分子大于分母的假分数的认知障碍，为学生理解分数的基本性质奠基。

（责编 罗 艳）