圆形是特殊的扇形吗？

庄妍

[摘 要]由于圆形是第一次由直边图形向曲边图形的转折点，学生在学习圆形时原有的知识经验无法顺利迁移类比，造成了学生对圆形的周长和面积计算公式的推导存在很大的认知障碍。为了平稳衔接直边到曲边的变化，弥合知识断层，可以引入带有两条直边的扇形，将其作为一个过渡载体。

[关键词]圆形；扇形；圆面；扇面；平行四边形；三角形；梯形

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0024-02

苏教版教材五年级下册中，圆的部分增设了扇形的知识。为了使学生能够理解圆心角大小决定扇形大小，某位教师设计了这样的活动——在黑板上画圆，以两根指针为半径，一根固定，旋转另一根。

师（一边演示一边问）：你有什么发现？

生1：扇形大小随着圆心角的大小一同变化。

生2：扇形半径夹角越大，面积越大。

生3：扇形是残缺的圆。

生4：圆是圆心角为360[°]的扇形。

对于生4的说法，教师虽然感到意外，但也觉得不无道理……

一、“问”：记录

评课时，教师对于“扇形与圆形的从属关系”争论不休——

师1 ：我认可“扇形是圆的一部分”这一观点，因为教材例题（如图1）中的扇形就是从圆形中截取的。

[观察各圆中的涂色部分，说说它们的共同特点。]

图1

师1：我反对，因为扇形是由一段圆弧和两条半径围成的图形，而圆形的一部分只是弧线。

师1（不服）：课本不是白纸黑字写着“涂色部分”吗？

师2（解释）：提示卡（如图2）明确提到，扇形只指外部的边线。

师3（依然不服）：教材（如图3）上写的“上面各圆中的涂色部分都是扇形”又是何道理？

师2（语塞）：是啊，这就前后矛盾了。

……

师3 ：我感觉“圆是特殊的扇形”这种观点也有问题。

师4（质疑）：如果它们不存在从属关系，那为何面积公式可以通用？

师3（思考许久）：这就难办了。

……

从多边形到圆形的学习是一个质变的过程，多边形的直边首尾连接构成封闭图形，对学生认识其周长和面积概念都有着很强的指导性，而圆形的曲边没有直边的参考，所以在构建周长和面积概念时不容易形成整体，那么捋顺扇形与圆形的从属关系就显得至关重要。只要扇形与圆形在本质属性上能够顺利融通对接，那么学生就能从两者面积公式的统一性上找到理解圆形的突破口。

二、追根溯源，咬文嚼字求真理

圆常见的定义表述有两种：①平面上到定点O的距离等于定长r的全体点的集合；②到定点的距离等于定长的动点的轨迹。以上定义表明，圆是一条线，而非一个面，它是“圓周”的简称。

由此分析上述课例，教者的画圆操作，最后形成这样一个图形（如图4），它是圆心角是360°的扇形，对比图5，略有细微差别：扇形是由圆的两条半径、弧线围成的图形。围成扇形的要素有：①两条半径；②一段弧；③围合封闭；当扇形的圆心角是360°时，两半径重叠，弧长达到最长等于圆周。而圆只是指圆周这一条曲线。

就此而论，“圆心角是360°的扇形”和“圆”是两个概念，“圆是特殊的扇形”这种论调似乎站不住脚。教材上只写“弧是圆的一部分”而不写“扇形是圆的一部分”。

可以说，一些学生混淆概念就是没有弄清二者的本质含义。除此之外，还有一个重要的原因：一些学生对圆本身存在认知误区，他们头脑中的圆形是图6这样的——带有半径的图形。

为什么存在这一认知误区呢？这与教学方式大有关系。认识圆的过程一开始就与半径“缠绕”在一起，许多学生认为半径是圆形的一部分构件，再加上教师的认识也很含糊，于是学生的认知就更加模棱两可。反观长方形的认识过程，就没有这样的误解，因为长方形没有内部构件；类似于三角形、四边形，它们的图内构件——如高线，一般是在学完面积后才推出，且常画成虚线。另外，动态画圆的过程中，代表半径的线段扫过的面给学生留下深刻印象，学生难免产生错觉。由此可见，采用沿着圆形物体边缘画线成圆的方法，可以避免以上麻烦。

课本中所指的“圆面积”，严格来说，应是“圆盘面积”。众所周知，我国近代数学是从西方“移植”过来的，英文中对圆有着双重定义，对于circle，我们直译为圆，其含义是一维的曲线，无面积，而disk，专指二维的圆形的图形，有面积。在平面几何中，圆一般多指圆周。在不同的语境中，圆可以视情况理解成圆周或者圆面，在平常使用中，如果带有面积属性，一般说“圆面积”而非“圆面面积”，“扇形面积”而非“扇面面积”等。在圆代指圆面、扇形代指扇面的情况下，“扇形是圆的一部分”“圆是特殊的扇形”这种说法似乎又有一定道理。

从文字定义上找到关于圆形和扇形逻辑联系的蛛丝马迹，实则很有必要，因为争论的关键还是在于直线段“半径”的归属问题。在辨析中学生的注意力被引向对直径的关注，圆形带不带直径，以及扇形究竟只是弧线还是包括两段半径，都直接与扇形和圆形的周长、面积挂钩，最终学生会感悟到：无论怎么分类，弧线长度是解决（曲线图形）周长、面积的关键，而弧线无论是出现在圆形还是扇形中，都是与半径分不开的，而且它们之间存在一个连续特定的比例关系。

三、考证教材用语，实现知识的多元归一

扇形，一般情况下指封闭线条轮廓，“一般情况下”几个字不可忽视。由此审视教材例题（如图1），教师对“涂色部分都是扇形”的表述提出质疑很正常。

教材前后的措辞和用语（如图7和图8），传递出编者的意图：“涂色部分都是扇形”是一种过渡用语，为了从圆面中截取扇面。由此揣测，教材可能想采用截取圆面的方式获取扇形，从圆形中分化出扇形比重新单独定义扇形要简单。

上述课例中，生4认为“圆是圆心角为360°的扇形”，这是一种极限思想的雏形。这种观点里，已经默认扇形为扇面。在这种观点的诱导下，将扇形面积公式同圆的面积公式统一起来，就显得顺理成章。按此理论，“平行四边形是特殊的梯形”这种说法也就有了理论依据，二者面积公式也能通过代数式变换统一起来。

对应的，“平行四边形是特殊的梯形”这一说法又有争议。根据梯形定义可知梯形只有一组对边平行，毫无疑问，而平行四边形有两组对边平行，不是梯形。持相反论调者也有证据：（1）从性质来看，梯形适用的所有公式，平行四边形也适用；（2）从点的运动轨迹角度来看，如图9所示，如果固定C、D两点， 动点A、B沿着直线AB自由运动，当且仅当线段AB=线段CD 时，四边形 ABCD 为平行四边形，其余情形一律为梯形；同理，将点A、B设为定点，C、D视为动点，亦成立。（3）从语言逻辑来看，“有一组对边平行的图形叫作梯形”和“只有一组对边平行的图形叫作梯形”虽然只是一字之差，但逻辑结构截然不同，前者是存在逻辑，后者是必须逻辑。（4）从认知论看，研究问题都是从特殊情况归纳出一般情况，然后用从一般情况中总结的法则定律解决特殊问题；从特殊到一般：正方形—长方形—平行四边形—梯形—四边形。

有人说，数学概念的界线有时不必那么吹毛求疵。我们不妨按照现行教材的标准将平行四边形与梯形作为四边形里并列且不交叉的两个子集，在之后的面积教学中，再借机指出两者面积公式可以通用，包括三角形面积公式在内，平行四边形和三角形都可看作梯形的特殊情况。

总之，数学教学随着知识面的扩充，原先割裂的知识点可以有机统一起来。如果我们用发展变化的哲学观点来教学，就会发现，加强知识的多元归一比进行知识的是非比较更重要，它能够让我们站得更高看得更远。

[[ 参 考 文 献 ]]

[1] 姚进.小学数学中“圆的认识”的教学设计研究[D].扬州：扬州大学，2016.

[2] 张齐华，徐斌.走进“圆”的世界——小学数学“圆的认识”课堂实录[J].教师之友，2004（6）.

（责编 金 铃）