小学生学习几何图形困难的调查与策略

蓝和平 卓泳萍

摘 要：空间几何教学是小学数学教学中一个基础而重要的内容。但是，由于几何内容抽象，强调演绎推理，所以构成了数学教学中的一大难点。如何突破这一难点？首先要准确把握小学几何题解题难的原因，然后找到有针对性的策略。

关键词：几何题；困难；调查；对策

空间几何教学是小学数学教学中一个基础而重要的内容。但是，由于几何内容抽象，强调演绎推理，所以构成了数学教学中的一大难点。如何突破这一难点？首先要准确把握小学几何题解题难的原因，然后找到有针对性的策略。于是，我决定采取问卷调研和学生解题过程相结合的方法研究。

一、问卷调研

六年级两个班共100人，每人一卷，我强调调研的真实性。同学们积极配合。对调查结果的统计如下表：

从整个统计表看，学生在知道计算公式方面（问题1、问题2）“能”的人数比例较高，而公式的推导过程（问题3、问题4）“能”的人数比例较低。从数据上显示出学生没有深刻体验到公式的推导过程。问题5“不能”的人数比例是65%，学生对于一些几何概念很模糊。问题10“没有”的人数比例是80%，学生不善于反思自己的思维过程，长久下去必定导致思维单一。另外在添加辅助线、画图助理解、观察几何模型、画立体图四个方面“没有”的人数比例也较高。如此看来，学生的识图和作图能力较弱。而识图和作图能力直接影响到学生空间想象能力的培养。

可见，学生在空间想象力、识图作图、概念阐述、思维灵活性四个方面存在问题。为了进一步证实学生解答几何题困难的原因，我挑选教学中出错率较高的几何题，让学生解答，了解出错的原因，挖掘影响学生正确解答几何题的不良因素。

二、结合问卷调研的结果和教学中学生的解题过程进行具体分析

1.空间想象能力差

学生中已经了解求解图形面积公式的占比高达85%，但是仅有44%了解推导这一计算方程的经过。由此可知，多数学生并未有补、割、平移和旋转等计算推导经验，只是将公式死记硬背下来。学生并不了解图形转化的流程经过，尤其是立体几何学科，学生“画”“看”“思考”的不够多，没有能力将立体问题转为平面几何问题，不具备较强的空间想象能力。

如下面左图是一个标准图形，图形（ ）经过旋转后和标准图形完全相同（图1）。

这是有关图形旋转的知识，许多学生做错了。学生没有实际的物体去实践操作尝试，只能在脑海里想象，这就要求学生有一定的空间想象能力，一旦想象模糊，题目就会出错。可见，学生的空间想象力影响到几何题的正确性。

2.识图和作图能力较弱

调查问卷表明学生缺乏学习的主动性。学生在面对几何题计算求解过程中，更加惯于从条件和问题之间寻找其中内在关联、摸索思考，但很少审题并绘制图形分析题干，而认为绘图计算需要耗费大量的时间精力。例如，下面这道题，100名学生里45人做错了。

选择题：将平行四边形拉成长方形，那么平行四边形面积（ ）长方形面积。

A.大于 B.等于 C.小于

这一题其实很好理解，只需将绘图并对比“高”就能够得到答案。可是学生在实际计算时，却很容易出错。笔者了解到多数得出正确答案的学生在解题时都在稿纸上绘制了图形。而没有得出正确答案的学生（共计45名）中，有38人解题从不绘图，胡乱猜测、盲目下笔。

除了不善于画图以外，学生的识图能力也较弱。有些图形题看似复杂，其实认真细看，添加辅助线帮助分割，图形就会变得很简单。例如，求阴影部分面积（图2）。大部分学生觉得无从下手。其实只要在图形上添两条辅助线，把图分割移补后可以得到：阴影部分的面积刚好等于正方形面积的二分之一。

3.概念阐述欠准确

几何题中的概念比较多，概念所反映的内涵是非常明确的，来不得半点模糊。一旦理解不透，思维推理不严谨，解题就会出现错误。在求解下题“星星工程项目组建设过程中使用的新型压路机的滚筒结构直径大小为1m，滚筒总长1.5m，如果以10圈/min的速度转动，一小时能够前进多远？”有60%的学生错列式为3.14×1×1.5×10，把底面周长算成了圆柱的侧面积，学生对底面周长的含义并不十分理解。

4.解题思维不灵活

许多学生在做题的时候表现出不能触类旁通，只能是老师怎样讲的就怎样用。对于延拓性的题目感到束手无策。例如学生已经掌握了圆的面积计算后，解答以下三道应用题。

（1）图中半圆的直径是5厘米，求整个圆的面积。

（2）丁丁用一根长31.4米的红色铁丝，然后绕成一个圆形，请求出这个圆的面积。

（3）已知半圆的周长等于10.28厘米（图3），求半圆的面积。

对于第（1）题，并没有多少学生感到困难。解答第（2）题时，有部分学生感到比较困难，但经过教师的点拨，很快就领悟如何解答。对于第（3）题很多学生就感到无从下手了。为什么学生会感到第（3）题很困难？因为这题不像书本的例题，他们找不到“圆的半径是多少”。就算有的学生懂得方法，可是思维不严谨，求半径时错列式为“10.28×2÷3.14÷2”，把“半圆周长中的直径”漏掉了。学生受到了书本例题的影响，教师教过的题，他们就会做；没有教过的题，越不典型，就有越多学生可能解决不了。这种消极的思维方式，不仅影响到小学阶段的几何学习，可能成为中学阶段学习的一个隐患。

三、策略

1.训练看、画、想，培养空间想象力

在进行几何初步知识教学时，应该重视学生的观察、绘图、思考。也就是“多看”，多阅读教材，多对比、观察不同模型、图形以及实体等；“多画”即经常练习绘制3D图，经常从不同角度绘图；“多想”即将实体转变为几何模型，并想通不同图形和部分的关联，闭上眼睛之后在脑海中重现想象几何图形。譬如在教授圆锥体时，高线就是学生无法真实看见，也无法触摸到，很难掌握的知识，因此教师可以运用模型展示、操作实践，引导学生观察，助其建立圆锥体的“高”这一概念。在授课时，教师不妨用教具顺着底面直径和顶点之间连线将圆锥切开，接着展开让学生观察所获截面（等腰三角形），三角形底边为底面圆直径，从底面圆心到顶点之间直线距离即为“高”。随后再让学生亲自测量“高”，并在黑板上繪图标识。如此一来，抽象概念就变得具体而形象了，学生更好理解。总之，“多看”“多画”“多想”是培养空间想象力的重要途径。

2.注重实验操作，建立形体表象

常言道“光说不练假把式”。图形知识的教学过程中，不应该仅仅重视“观察”，还应该结合实验操作教学，帮助学生更好地感知理解几何形体。譬如在教授“圆柱表面积”部分内容时，老师可以利用教具，将圆柱体展开，随后带领学生绘制展开圆柱体后所得平面图，再说明各面计算方法。如此一来，学生先观察然后绘图，就很容易理解“圆柱表面积”这一知识点了。

3.加强变式训练，掌握解题技巧

在求解几何题时常用的方法和数学思想有翻折、平移、割拼、割补、借用、旋转以及添线等。完成基础知识部分教学之后，笔者运用活动课，设计了大量练习题，练习上述解题方法的应用，增强学生的知识应用和问题求解能力。如图4，即为割补方法解题的案例。学生只有认真识图，才能正确地移补阴影部分，还原成一个三角形。图中的阴影部分就是拼成一个三角形。又如，图5是利用添线、割拼的方法解答的。这是求图形面积的几何题，图形很特别，用常规思路解答，常常无从下手。若能巧添辅助线，就能化难为易，使问题迅速得到解决。用线连接起来后可以看出，这个图形的面积是一个正方形的面积加上一个圆形的面积。只要能作出准确的辅助线，学生便会体验到柳暗花明又一村的美妙。

学生解答几何题困难的原因是复杂多样的。本人只是从学生方面挖掘原因，提出实践性的对策。实践后我感觉效果很好，因此拿来与为“学生解答几何题困难”犯愁的同行参考。学生空间想象能力的培养，对老师的教育方法提出很高的要求。愿大家共同努力，把解几何题的活动更好地变成学生动脑筋、再创造的过程。