两道中考试题的共同价值及教学启示

何合全

数学思维问题是数学教学中的核心问题，培养数学思维是开发学生思维能力的一个突破点，是提高教学质量的重要途径之一。因此，数学教学不能仅仅停留在知识的传授上，还必须注重培养学生的数学思维能力。近年来，学生的数学思维能力已成为中考试题重要的考查目标之一，这类题目往往“给出图像，以数学概念为出发点，让学生通过观察、阅读、归纳、分析，获取有用的信息，再进行验算和推理”，既考查了基础知识和基本技能，又考查了数学思想和创新能力。

一、试题呈现

例1（2016年广东省中考试题第10题）：如图1，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图像大致是（）

例2（2018年广东省中考试题第10题）：如图2，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图像大致为（）

二、试题分析

解析：这两道试题都涉及动点在特殊四边形的背景下，运动的路程和相关三角形面积的关系，在分析、解决此类问题时，关键是要抓住动点在运动过程中一些数量“变”与“不变”的关系。在例1中，点P沿着正方形的边顺时针方向运动时，△APC的底边是变化的，设正方形的边长为a，当点P在AB上时，△APC的底边长度为x;当点P在BC上（不包括点B）时，△APC的底边长度为2a-x;当点P在CD上（不包括点C和点D）时，△APC的底边长度为x-2a;当点P在DA上时，△APC的底边长度为4a-x。而它的高的值是不变的，都等于正方形的边长，根据三角形面积的计算公式就可以得出相应的函数解析式，從而判断出它们的图像形状。在例2中，点P沿A→B→C→D路径匀速运动过程中，当点P在AB上移动时，△PAD的高不变，它的面积随着底边AP的增大而增大;当点P在BC上移动时，△PAD的面积是不变的，它是一个定值;当点P在CD上移动时，△PAD的高不变，它的面积随着底边DP的减小而减小;当点P 在DA上移动时，P、A、D三点共线，它们无法组成三角形，△PAD的面积不存在。

例1的解答：设正方形的边长为a，以四边形的四个顶点为动点的临界点分四种情况进行分段解答：

（1）当点P在AB上时，底边的长度不断增大，y=ax;

（2）当点P在BC上（不包括点B）时，y=a（2a-x）=-ax+a2;

（3）当点P在CD上（不包括点C和点D）时，y=a（x-2a）=ax-a2;

（4）当点P在DA上时，y=a（4a-x）=-ax+2a2。

由此得到四个一次函数，找出各个函数对应的k值：（1）k>0，（2）k<0，（3）k>0，（4）k<0。根据函数性质（增减性）可知：k>0时y随x的增大而增大，k<0时y随x的增大而减小，故答案是C。

例2的解答：因为点P在菱形ABCD上移动，所以可知由菱形各顶点向对边所作的高为定值，可设高的长度为h，以菱形的四个顶点为动点的临界点分三种情况进行解答：

（1）当点P在AB上移动时，把AP作为△PAD的底边，则有S△PAD=AP·h，随着点P的移动，AP的值在增大，三角形的面积也是在增大的，y与x满足正比例函数关系;

（2）当点P在BC上移动时，把AD作为△PAD的底边，则有S△ PAD=AD·h，点P的移动不会造成AD长度的变化，所以此时三角形面积为定值;

（3）当点P在CD上移动时，把DP作为△PAD的底边，则有S△PAD=DP·h，随着点P的移动，DP的长度在减小，三角形的面积也是在减小的，y与x满足反比例函数关系。因为P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，所以点P在三条线段上运动的时间相同，故答案是B。

三、试题价值

（一）考查基本的数学概念、性质，学生的识图、解题能力

两道试题都属于以四边相等的特殊四边形为运动载体单动点问题，需要学生掌握动点在运动过程中，与两个定点所形成的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类三角形高线的作法。考查了一次函数、三角形高线等概念与一次函数、正方形、菱形的性质。

（二）数形结合，分类讨论，重点考查学生的数学思维品质和综合应用能力

解题时，学生需找到“动点在运动的过程中形成的三角形高是定值，变化的是三角形的底边”这一突破口。而三角形的高实质是正方形（或菱形）的高，三角形的底边是四边形其中一边的一部分或全部。动点在运动的过程中的临界点是多边形的顶点，这形成了分段函数，需要借助几何直观，以“静”制“动”进行分类讨论。这两道选择题蕴含着丰富的数学知识和思想方法，思维含量极高，是精心构思的题目，考查了学生的思维能力、运算能力和创新意识，是具有一定思维深度的试题。

从数学知识点来看，这两道试题都是依附于不同的载体（四边相等的四边形）的动点在运动过程中使构成的三角形面积不断产生变化的题目，考查了数形结合、方程思想和分类讨论思想的应用，知识覆盖面广，综合性强，难度系数大。解答此题的关键是对动点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究，化“动”为“静”，明确变化过程中三角形的高是定值，对学生的读题、解题、知识迁移能力、数形结合、分类讨论等思维能力提出了较高的要求。

四、教学启示

（一）概念教学注重概念的形成过程，抓住概念的核心，在理解和应用过程中，培养学生的数学能力

数学概念不仅需要学生具备一定的生活经验和数学认知体系，还需要学生具备一定的数学语言理解、记忆和表述能力，而这些能力的获得，只有在数学概念教学中加强培养，才能逐步形成，逐步提高。

1. 由于学生自主学习能力的差异，他们对同一知识的领悟层次是不一样的。为了让全体学生都能全面正确地理解新概念，我们要组织以学生探讨为主、教师指引评价为辅的有效的课堂研讨活动，以及围绕关于概念的系列问题而展开的课堂讨论，这有利于学生对概念的理解和掌握。例如，以“三角形高线”的概念教学为例，剖析数学概念教学的本质。首先，教师用多媒体展示锐角三角形，根据三角形高线概念引导学生观察，寻找高线与三角形顶点和边的关系。其次，教师可以将三角形中的一个内角变为90度，再让学生观察，得到概念的本质;将三角形的一个角变为钝角时，让学生继续观察。最后，分三类三角形进行画图讨论，借助几何直观进一步理解概念。这样的教学过程，不仅能展现三角形高线的本质特性，而且能揭示其内在联系。

2. 对学生在理解方面易出错误或理论性较强的概念，要抓住概念的核心，设计一些针对性强的题目，使学生通过练习，加深对概念的理解。

如在进行“二元一次方程”概念的教学时，可针对概念核心内容设计练习：下列哪些式子是二元一次方程：（1）3x-=1;（2）3x（x-2y）=5;（3）3x-y=1;（4）3（x-2y）=5。教师在讲评练习时应说明“项”指的是单项式，将方程两边化为多项式或单项式的形式时才能较容易作出判断。学生在探索过程中理解了：（1）每一项是单项式——整式方程;（2）每个单项式中最多含有一个次数为1的未知数——最高次数是1;（3）方程一共含有两个未知数——二元。这是关于二元一次方程最基本、最朴素的表述，也是二元一次方程的核心內容。

（二）以小见大，引导学生思考问题的共性，总结解决问题的规律，提高解题能力

对于填空题或选择题，看似虽小，但蕴含着丰富的数学知识，也隐藏着普遍的解题方法，具有一定的探究性，都是精心构思的题目。因此讲解“小题”时，教师应引导学生在分析本题蕴含的基础知识、基本技能和方法的基础上，对习题进行改编、演变和拓展延伸，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，让学生在习题的探索中归纳其中的共性和规律。此外，还要引导学生通过解题掌握一般的数学方法，培养他们观察、联想、比较、转化、探索的能力，充分发挥习题的典型导向作用，并进行扩展，提高学生的解题能力。

当把运动的载体改为矩形，把单点运动改为双点运动时，就可以得到如下题目：

例3：如图3，矩形ABCD的边AB=4，BC=8，点P从A出发，以每秒2个单位沿A→B→C→D运动，同时点Q也从A出发，以每秒1个单位沿A→D运动，△APQ的面积为y，运动的时间为x秒，则y关于x的函数图像为

（）

这道题虽然是双动点问题，但解法与例1和例2相类似，只要找到点P运动的临界点即分段函数的临界点，处理好点P运动过程中数量“变”与“不变”的关系，问题就可以迎刃而解。

当0≤x≤2时，即点P从A运动到B的过程中，△APQ的底AQ和高AP都是变化的，此时S？驻APQ=x·2x=x2;

当2

当6

所以教师在进行习题教学的时候，要立足于基础知识，满足学生学习的需要和中考的要求， 引导学生对习题进行归类或改编，总结规律，提高解题能力。

（三）注重在常规知识教学中渗透数学思想，提升思维品质

数学思想就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。数学方法，是解决数学问题的根本程序，也是数学思想的具体反映。在日常教学中，应把数学思想方法渗透在教学活动中，让学生在解题方法上有所创新，使“方法”与“思想”有机结合，有效提升学生的数学思维品质。

1. 整合教材内容，对教材内容进行拓展延伸，设计和改编可以激发学生创造性思维的题目，让学生学会变换思维的角度思考问题。要善于引导学生跳出常规思维的束缚，养成多方位、多角度、多层面观察和分析问题的习惯，尽量做到举一反三、触类旁通，揭示解题过程中所体现的数学思想，拓宽学生思维的广阔性，提高学生的推理、想象和求异创新的能力，从而提升学生的数学思维品质。

2. 要善于从有共同特征的图形出发，重视对基本图形的归纳。因为基本图形往往具有一定的代表性，它能化繁为简，缩短解决问题的路径，在复杂问题中容易找到思考的方向。在此基础上，结合有关知识的教学，引导学生从中提炼出常用的基本模型，并通过典型问题让学生学会运用基本模型分析问题、解决问题、提出新问题、探索新结论，将学生的思维不断引向深入，提高学生的思维能力。

总之，历年的中考题除了能考查学生的基本知识、基本技能和思想方法外，还能触动教师去思考如何在教学中培养学生的思维品质。因此教师在教学中要抓住数学概念的核心，通过对典型试题的分析，在核心知识的交汇处强化综合应用，渗透数学思想，使学生养成良好的数学思维品质。

责任编辑 罗 峰