基坑开挖与降水引起下卧隧道变形的解析计算方法

欧雪峰， 张学民， 刘学勤， 阳军生， 刘继强， 韩雪峰

(1. 长沙理工大学 土木工程学院， 湖南 长沙 410114； 2. 中南大学 土木工程学院， 湖南 长沙 410075；3. 中南大学 重载铁路工程结构教育部重点实验室， 湖南 长沙 410075； 4. 中铁南方投资发展有限公司， 广东 深圳 518055)

城市复杂敏感环境条件下，基坑开挖导致下卧既有地铁隧道产生变形，将直接威胁到其运营安全，并因此受到高度重视[1]。基坑开挖对隧道影响的评估工作中，基坑施工引起下卧隧道隆起变形的计算分析是一项重要工作[2-3]。通过对计算条件的适当简化，可对开挖卸载引起的隧道隆沉变形影响进行解析理论研究，对既有隧道的变形进行预测，为现场施工提供指导意见。

目前，有关解析理论研究可主要分为强制变形法和附加荷载计算法两种[4]。二者均为两阶段法，主要区别为第一阶段中在不考虑土体中存在隧道结构情况下，强制变形法首先求解开挖卸载导致隧道轴线位置处土体的位移，而附加荷载法首先求解隧道轴线位置处的竖向荷载。考虑到与计算降水影响方法的一致性，本文采用了附加荷载计算方法。由于本文所计算的开挖卸荷属于土里内部荷载，因此荷载计算方法选择采用经典Mindlin弹性解[5]，见图1。

为减小计算模型的自身误差，使计算结果更接近真实情况，本文选择采用Pasternak双参数模型求解基坑施工对下卧隧道位移及受力的影响。Pasternak 模型是在Winkler 模型基础上假设相邻弹簧间存在着相互的剪切作用，通过一层仅产生横向剪切变形而不能压缩的剪切层连接实现[6]，见图2。

在类似深圳地区富水强风化花岗岩地层中施工，基坑降水也是一个不可忽视的重要因素，目前关于降水对既有管线的影响开始逐步得到一些学者的关注，但主要是关于相邻管线的影响[7-10]，目前鲜有考虑降水对下卧隧道作用的文献。2002年谢康和等[11]提出地基降水会使地基中的土体自重应力增加导致地表产生附加沉降，见图3。因此，基坑降水同样会对下卧既有隧道产生影响。

综上所述，本文主要采用附加荷载的两阶段法进行下卧隧道所受影响的预测计算分析，第一阶段采用Mindlin解获得基坑开挖引起的隧道位置的竖向荷载，同时采用有效应力原理计算出基坑降水产生的土体附加自重应力；第二阶段将既有隧道模拟为Pasternak双参数弹性地基梁，将求得的竖向应力代入到平衡微分方程中进行推导计算，求得既有隧道的竖向变形。最后将计算结果与不考虑降水影响的结果以及现场实测结果三组数据进行对比验证，以证明本文考虑基坑降水计算方法的正确性。

1 基坑施工卸加载受力分析

1.1 基坑开挖卸载计算方法

基坑施工中土方开挖过程可以考虑为卸载过程，必将改变基坑底部土体原有初始应力场，导致下部土体产生向上的隆起变形。在计算卸载应力值大小时做两个假定：(1)土体按土层均匀分布；(2)基坑围护结构及相应加固措施不作考虑。

基坑底部的开挖卸载值大小为[11]

( 1 )

式中：P0为总的卸载值；γi为各被开挖土层的土体天然容重；hi为各被开挖土层的层厚;n为基坑开挖所涉及的土层总数。

1.2 开挖卸载引起隧道附加应力

开挖卸载引起隧道附加应力计算示意图，见图4。

为简化计算，根据实际情况做如下假设：(1)土体为均质且完全弹性的半空间体；(2)基坑底部的卸载为均布荷载，方向向上；(3)不考虑基坑开挖过程中的时间和空间因素；(4)不考虑基坑围护结构支撑及加固的影响；(5)不考虑隧道的存在对土体的附加应力影响。

由Mindlin解可得，由基坑底部任一点(ξ，η)上的卸荷pdξdη作用下，隧道轴线处(x,y,z0)的附加应力σz为

[3(3-4ν)z0(z0+h)2-3h(z0+h)(5z0-h)]×

( 2 )

式中：

ν为泊松比;z0为隧道中心线与地表距离;h为基坑开挖深度。

1.3 基坑降水引起的有效应力增量

实际施工中通常先进行基坑降水，将基坑内的地下水位降至基坑底时再进行土方开挖，由于基坑的降水会引起基坑底土体的有效应力增大，增大的有效应力会在下卧隧道上产生向下的压应力，使隧道产生下沉变形。而相关计算中卸载值一般是按开挖土体的天然容重来计算的，仅将土体天然容重考虑为卸载值会使计算所得结果偏大，从而导致隧道所受向上的应力比实际情况大，按这种方法计算会使基坑开挖施工对下卧隧道的影响偏不利。因此本文在计算中将降水和土方开挖所导致的下卧既有隧道的受力变化进行分开考虑。

计算基坑降水导致的隧道受力变化中首先假定基坑降水后土体中的总应力不变，降水后引起的孔隙水压值下降会转变成有效应力的增量[12]，这里引入著名的有效应力原理[13]

σ′=σ-μ

( 3 )

式中：σ′为有效应力;σ为总应力;μ为空隙水压力。

基坑降水见图5，假定基坑围护结构隔水效果较好，基坑降水仅引起基坑内部水位下降，在这个假定的基础上，进行基坑开挖面以下A点(即隧道位置)的有效应力计算。

2 基于Pasternak地基模型隧道变形控制方程

本文采用双参数地基模型对既有隧道受竖向荷载作用下的变形进行模拟计算，其在相邻弹簧间增加的剪切层避免了Winkler地基模型中假设地基不连续的缺点，现假定相邻弹簧间增加的剪切层在x、y平面内各向同性，即剪切模量Gx=Gy=Gp，则外荷载p与位移之间关系为

p(x,y)=kω(x,y)-Gp2ω(x,y)

( 4 )

梁自身的挠曲微分方程为

( 5 )

( 6 )

式中：b为弹性地基梁宽度，即隧道直径；E为隧道的弹性模量；I为隧道的惯性矩；ω(x)为隧道的挠度；k为基床系数。

基于张桓等[14]的推导工作对式( 6 )进行求解，为得到ω(x)的方程，取方程( 6 )的齐次方程为

( 7 )

令方程两边同除以EI，将齐次方程变换为

( 8 )

可得其特征方程为

( 9 )

±α±β

(10)

所以齐次方程( 7 )的通解为

ω1(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)+

e-αx(C3cosβx+C4sinβx)

(11)

由于本案例中弹性地基梁所受应力为基坑开挖卸载引起的附加荷载以及基坑降水引起的附加应力，两种荷载均为均布荷载，在求解均布荷载问题时，通常进行两步计算：第一步，求解弹性地基梁在集中荷载作用下的解；第二步，采用微元法原理把均布荷载分割成很多段微小的集中力，然后将各微小集中力叠加起来，即对集中力作用下弹性地基梁的解进行积分计算，从而求出均布荷载作用下弹性地基梁的变形。

(1) 为了分析基坑开挖对下卧隧道的影响，先求解Pasternak地基上隧道受集中荷载作用时的解，见图6，此处p为隧道所受集中荷载。

由于隧道纵向所受附加荷载在基坑中心两侧对称分布，因此可以利用这种对称性，只需对x≥0的部分进行求解分析。由于当隧道沿纵向无穷远时，该位置将不受基坑施工的影响。因此，当x趋近于+时，ω=0 ，将其代入式(11)可知C1=C2=0 ,因此ω(x)可化简为

ω(x)=e-αx(C3cosβx+C4sinβx)

(12)

此时，式( 6 )的特解为ω*=0 。由对称条件可知，x=0 处隧道的转角θ=0 ，且根据剪力平衡条件可得x=0处的剪切力为Q=-pb/2，因此有边界条件为

(13)

将式(13)代入式(12)中可建立一个含有两个方程、两个未知数(C3、C4)的方程组，对其求解可得集中荷载作用下的隧道变形控制方程为

(14)

(2) 推导出隧道受集中荷载作用下位于Pasternak弹性地基上的变形解答后，利用这个结论推导均布荷载作用下的隧道变形。

在离端点ξ位置上作用的附加荷载为q(ξ)dξ，见图7，将其坐标体系进行转化，根据式(11)，可求出该荷载引起隧道轴线上任意点x的位移dω(x) 为

(βcosβx-ξ+αsinβx-ξ)dξ

(15)

对式(15)在隧道所受附加荷载分布区段进行积分，即可求得基坑施工卸、加载引起的隧道变形。

3 工程案例

深圳地铁车公庙枢纽西风道基坑位于整个枢纽工程的西北角，见图8，基坑纵向长L=30 m，横向开挖宽度为B=20 m，深度为h=8 m，地下水位平均为-1 m，由于空间限制使得西风道设计位于既有1号线上行线区间隧道的正上方，且隧道与基坑底部净距仅为3 m，其中下卧既有地铁1号线地铁隧道位于富水砾质黏性土层中，风道基坑的施工必将对1号线隧道造成影响，由于对于地铁的保护极其严格，要求施工导致的隧道位移需控制在20 mm以内。为了确保地铁运行安全，需对基坑施工造成的隧道位移进行预测，以指导施工。

表1 主要计算参数

注：z0为隧道轴线距地面埋深。

表2 地层参数

注：γ、γs分别为土体湿重度及饱和重度。

3.1 基坑降水引起隧道附加应力

基坑降水假设为仅为基坑内水位下降，一次性降至基坑底部下1 m位置，且在未进行基坑的土方开挖前实施，满足了计算有效应力中总应力不变的前提条件，因此可根据式( 3 )计算出隧道所受附加有效应力值(见图9)为

(16)

3.2 基坑降水后的开挖卸载

基坑内土体重度在降水后取湿重度γ=19.9 kN/m3， 卸载值p1的大小根据式( 1 )计算为

p1=γ×h=159.2 kPa

(17)

根据隧道位于基坑正下方的假设，隧道上任意点取(x,0,12)时，沿隧道x=(-100,100)区间，代入式( 2 )，得基坑开挖卸载引起隧道所受附加应力σz1，见图10。

隧道上的最大应力出现在基坑中点正下方，约为480.9 kPa，随着距基坑水平距离的增加而逐步递减，在100 m处基本衰减到接近0 kPa，从图10中可看出，中心点两侧40 m范围是隧道受力较大区域，施工中需加强观测。卸载引起的隧道最大应力约为480 kPa(方向向上)，而降水引起的隧道所受有效应力增量为75.7 kPa(方向向下)，占最大应力的15.8%，可见降水对下卧隧道的影响较大，不能忽略。

3.3 未考虑降水情况下的卸载

不考虑降水情况的计算中，将位于地下水位以上土体，取湿重度γ=19.9 kN/m3，水位线以下取饱和重度γs=20.4 kN/m3，则根据现场地下水位为-1 m的情况，卸载值p2的大小根据式( 1 )计算为

p2=γ×h=162.7 kPa

(18)

按式( 1 )中条件同理可得基坑开挖卸载引起隧道所受附加应力σz2见图11，隧道上的最大应力为491.48 kPa，出现在基坑中点正下方。

3.4 隧道上浮变形的求解

3.4.1 考虑降水影响

根据西风道基坑施工段地勘报告，隧道周围土体主要为砾质黏性土，其地基的基床系数取k=3.0×104kN/m3，地基剪切模量Gp=1.0×104kN/m，隧道纵向刚度[15]根据一般地铁隧道取值EI=1.567×108N·m2，此时可计算出α=0.13，β=0.085。隧道直径b=6 m。

(1) 基坑降水对隧道造成的附加有效应力作用在隧道的-15

(βcosβx-ξ+αsinβx-ξ)dξ

(19)

(2) 3.2节中已求出基坑开挖引起的隧道附加应力σz1，将σz1中变量x换成ξ，然后和其它已知条件一并代入式(15)，由于基坑开挖卸荷导致隧道所受附加应力在距原点100 m处基本趋近于零，因此取积分区间(-100,100)后，得出基坑开挖卸载造成的附加应力引起的下卧隧道变形ω为

(βcosβx-ξ+αsinβx-ξ)dξ

(20)

采用Matlab语言编程计算得到开挖卸载下的既有隧道变形，见图13。

将式(19)、式(20)中变形计算结果进行叠加，可以得出考虑降水影响后隧道的最终纵向变形图，见图14。

从图12和图13可以看出，隧道的变形主要为卸载产生的隆起变形，最大变形值为19.23 mm，而降水导致隧道最大沉降值约为4.5 mm，约占基坑开挖卸载上浮变形量的23.4%，为基坑开挖过程中抑制隧道上浮的有利因素。

3.4.2 未考虑降水影响

3.3节中已求出未考虑基坑降水产生附加有效应力影响，基坑开挖引起隧道附加应力σz2，将σz2中变量x换成ξ，结合式(15)，得出基坑开挖卸载产生的附加应力引起的下卧隧道变形，未考虑基坑降水产生的附加应力影响时，隧道最大上浮变形值为19.66 mm，见图15。

3.5 实测结果对比验证

施工期间采用测量机器人无接触式自动化实时监测系统监测420 m长区段内既有车站及区间隧道结构变形。监测项目主要包括隧道结构沉降、变形缝差异沉降、轨道结构沉降等指标，以指导现场施工。在地铁夜间停运天窗时间段，采用人工监测对结构变形进行复核，同时通过轨检车对地铁线路进行检测，确保轨道几何参数满足安全运营标准。为与本文计算所得的隧道纵向竖向位移做对比，现提取既有隧道轨面测点的竖向位移监测数据，见图16。

最后，将图14和图15与现场监测数据图16中由于西风道基坑开挖导致的既有线变形合并在一张图中，得到了计算结果与实测结果的对比曲线图，见图17。

由图17可见，同时考虑基坑开挖卸载及基坑降水影响引起的隧道最终变形值与实测结果较为接近，表明考虑降水产生的有效应力影响时，计算结果更符合实际情况，验证了本文计算方法的合理性，而未考虑降水产生的附加应力作用的计算结果比实际情况偏大。

3.6 工程应用与验证

吉茂杰等[16]对上海世纪大道杨高路立交工程进行了研究，该工程基坑深7.4 m，宽32.5 m，长33.5 m，修建于运用地铁2号线正上方，隧道轴线埋深17.4 m，基坑底部仅距隧道顶7 m。

由于该文中未见基坑降水方案，仅将本文的中的开挖卸荷部分与之实测数据进行对比，见图18。图中预测曲线最大值为17.1 mm，而实测隧道最大变形值为13 mm。由于计算中未考虑基坑降水的影响，本文认为基坑降水是抑制隧道隆起的一个因素，因此，如考虑基坑降水计算所得最大变形值必将有一定程度减小，从而使计算值更加接近实测值，提升预测精度。

4 结论

本章提出了一种解析计算方法，获得了基坑开挖导致下卧既有隧道隆沉变形规律，计算中考虑了基坑降水的影响，并讨论了其在整个变形过程中的作用，最后将计算结果与现场检测数据进行对比，验证了本文计算方法的有效性。主要得到以下几点结论：

(1) 基坑开挖产生的卸载是引起隧道隆起变形的主要因素，计算结果表明基坑正下方为强影响范围，隧道变形的“反弯点”出现在基坑两端位置，随后变形迅速减小。

(2) 基坑降水将引起基坑底部土体有效应力的增加，进而对下卧隧道隆起变形产生抑制作用，尤其对于类似深圳地区富水软弱地层，基坑降水对控制下卧隧道隆起变形是一个有利因素。

(3) 通过对比计算结果与实测数据，表明考虑基坑降水在隧道上产生的有效应力增量，可使计算结果更加符合实际情况。采用本文方法可预测类似工程中基坑施工引起下卧隧道的变形，从而为制定合理工程措施提供依据。