克里金插值法在气动导数计算中的应用

摘 要：飞行载荷是飞机载荷设计中的关键，在载荷求解过程中快速精确得到气动导数可以提高载荷计算的准确性。在现有气动导数数据基础上，利用克里金二元插值方法，對未知气动导数进行计算。计算结果表明，该插值法的计算精度远高于传统线性插值，为后续气动导数计算提供了新思路。

关键词：插值法；气动导数；克里金法；飞机设计

1 引言

在飞机设计中，飞行载荷的计算是是一项基本而重要的工作。而在求解飞行器的气动力和气动力矩时，通常需要大量应用相关气动导数。在一般情况下，气动导数是以表格形式给出的，它受马赫数、高度、升降舵、方向舵、襟翼偏角等的影响[1]。气动导数的值随上述自变量的变化呈现非线性趋势[2]。现有的气动导数的估算方法大致可以分为三类：插值法、拟合法[3]以及参数识别法。

在载荷计算过程中，经常使用插值法进行气动导数的估算。本文分别采用了克里金插值法，对气动导数进行计算分析，最终得出该插值法具有更高的计算精度，可以在未来的飞行载荷工程计算中加以应用。

2 克里金插值法

克里金法[4]是建立在变异函数理论分析基础上，对有限区域内的区域变化变量取值进行无偏最优估计的一种方法。使误差的方差最小是克里金法的显著特点。这种方法不仅考虑了待插点与邻近数据点的空间位置关系，还考虑了各临近点之间的位置关系，使其估计比传统方法更精确，更符合实际。

其基本原理为：设研究区域为A，区域化变量为{z（x）∈A} ，x 表示空间位置，z（x） 在采样点xi（i=1，2，…，n） ，则根据克里金插值原理，待插点x0 处的属性值z（x0） 插值结果是n 个已知采样点属性值的加权和，即：

（1）

式中，λi（i=1，2，…，n ） 为待求权系数。假设z（x） 在整个研究区域内满足二阶平稳假设，且根据无偏性要求， 。

区域化变量在满足二阶平稳的条件下推导，可以得到估计方差的计算公式：

在无偏估计下使方差达到最小，可得权系数 的方程组：

求出诸权系数λi（i=1，2，…，n ） 后，就可以求出插值点x0 处得值z（x0） 。

3 算例

3.1 初始参数

本文以某轻型公务机为例，利用克里金二维插值法对气动导数进行插值计算。

下面给出在襟翼10°偏度下，由风洞测力试验得到的副翼操纵导数。将下列数据作为已知点进行后续计算。

3.2 插值计算

将机身迎角α作为空间点的x 坐标，侧滑角β作为其y坐标，副翼操纵导数 作为空间点的属性值z（x， y）。

表2列出了在迎角α=8°条件下，利用克里金插值法计算得到的副翼操纵导数。为了更直观的对比克里金法与常用的线性插值法在精度上的差异，图1展示了在在襟翼偏度10°情况下，上述两种插值法与实测值结果的计算误差对比。可以看出，克里金法最大计算误差为0.00024，而线性插值法超过了0.00035。从整体计算误差来看，与传统线性插值法相比，克里金法在插值精度方面还是有比较明显的优势。

4 结论

本文以副翼操纵导数为例，利用两种不同的二元插值方法对气动导数进行了计算对比。结果表明克里金插值法和薄板样条插值法绘制出的曲面基本上可以反映出副翼操纵导数在某襟翼偏度时，不同迎角和侧滑角条件下的真实分布。但是只能保证在内部点上的插值精度，在边界点上精度较差。

克里金法、TPS法和传统线性插值法对比后可以看出，克里金插值法在计算气动导数时，计算误差最小。二元插值法在气动导数计算应用中是可行的，这为后续的飞行载荷计算提供了一种新思路。

参考文献：

[1]王行仁. 飞行实时仿真系统及技术[M]. 北京航空航天大学出版社， 1998.

[2]Stevens B L， Lewis F L. Aircraft Control and Simulation[J]. Aircraft Engineering & Aerospace Technology， 2003， 76（5）.

[3]李世玲， 张富堂， 李治，等. 基于模糊神经网络的气动参数拟合[J]. 系统仿真学报， 2001， 13（4）：488-490.

[4]李莉， 胡建平. 克里金插值算法在等高线绘制中的应用[J]. 天津城建大学学报， 2008， 14（1）：68-71.

作者简介：

赵佶男（1989-），男，籍贯：河南省郑州市人，民 族：汉 职称：助理工程师，学历：硕士研究生。研究方向：飞机强度设计。