相信学生 让学生的生成超越老师的预设

摘 要：新课程理念比以往任何时候都更强调学生的主体地位，只有相信学生、给学生不断创造机会让他们“动”起来，才能使所学的知识“活起来”；教师只有学会“放手”学生才能学会“自己走路”并让他们真正感受到学习的乐趣和动力。

关键词：课堂教学；两圆方程；相信学生

教师应认真备课，精心预设，但更应相信我们的学生他们有这个能力，他们的生成可以超越我们的预设，形成别样的教学风景线。在最近一年的教学中我经历了多次“出我意料”，体验了学生生成的能力。

一、 我的经历

在练习册《优化设计》必修二第77页关于圆系方程的结论：若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程即（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0。

老师问：你们能用哪些方法证明这个结论？

学生1：可以联立两圆方程，求出交点坐标，再用两点式即可求得；但这样计算量比较大。

老师：这是一种常规方法，可行。但却较繁琐。有没有其他同学有更好的方法？

大家都投入到思考中，教室一片寂静。过了二、三分钟，学生2举了手。

学生2：其实不用这么麻烦，联立两圆方程后，我们可通过加减消元法得到（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0很明显，我们会联立一个圆的方程与直线方程，即x2+y2+D1x+E1y+F1=0（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0，而这两点很显然会满足这条直线方程，另一方面两点确定一条直线。所以这就说明直线（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0就是所求。

老师：很好！他从存在性与唯一性两个方面来证明了这个结论，确实是一种较好的方法！（掌声四起！）

学生3：但我觉得这有问题。

老师：为什么？

学生3：因为只要两圆的方程不完全相同，不管这两圆是相离、相切还是相交，两圆方程相减就会得到一条直线方程，那怎么解释这条直线？另如果只給两圆的一般方程，这两圆的位置关系也不好判断，虽然这个结论有说这两圆相交。

老师：很好！考虑得很周到！当然，这个结论是针对具体的圆的方程而言的，在这种情况下，两圆的位置关系就好定了！大家鼓励鼓励！（掌声四起！）

我本想就此结束，进行应用训练，这时学生4有了疑问；

学生4：顺着学生3的想法，我们能不能来证明这条直线方程与这两圆之间有何联系呢？

我心中一惊，虽然也有几次想起要来证明，但从来没有去深究过这个问题；怎么办？是就此打住，还是继续？我在心中思量着，由以往几次的经历及我对自己学生的理解和把握，决定相信学生，尝试一下，说不定又会有意想不到的收获。

老师：这位同学质疑得非常好；老师我也一直都没有去思考过这个问题，但我相信这个问题值得去研究研究，也相信你们能解决它！

学生4：应该从分类讨论的角度来入手，首先考虑相切的情况，这时这条直线会不会是两圆的公切线。

老师：怎么证？

学生4：只需验证两圆心到直线的距离都等于对应的半径即可，圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0到直线（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0的距离可表示为d1=（D1-D2）-D12+（E1-E2）-E12+F1-F2（D1-D2）2+（E1-E2）2，而圆C1的半径为r1=D21+E21-4F12，做到这里，学生面露难色，要证明d1=r1有难度。

学生5：可以再进行分类，考虑外切与内切，这样就可以增加条件，如外切时就可有条件D21+E21-4F1+D22+E22-4F2=（D1-D2）2+（E1-E2）2，学生往下算后发现计算量很大，也行不通。

这时，忽然学生6高兴地叫起来：“我想到啦！”并高高地举着手！同学们有的质疑，有的赶紧问：“你是怎么做的？”而有的仍在思考中。

老师：兴奋地说：“你来说说看。”

学生6：我们应该从前面的解答中找到更好的解题思路；前面我们证明当两圆相交时，两圆方程相减就得到它们公共弦方程时，我们就没有去硬算，因为我们发现计算量实在是大；因而我们应从另一个角度来思考这个问题，我们利用前面同学2的证明方法可知，不管两圆是相交还是相切，它们的交点或切点一定在直线（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0上。

学生6还没说完，很多同学就质问到：“为什么？”当我听到学生6的回答后，我也茅塞顿开，恍然大悟，心中一片激动！但我没有急于表达我的想法，只是安抚其他同学先静下来听同学来分析，并示意学生6继续。

学生6：前面同学2已证明了相交的情况，我就不再解释，我只说明相切的情况，如果两圆相切，那么这两个圆就只有一个交点，也就说明方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0 只有一组解，显然这组解所对应的点在直线（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0上；直线与圆只有一个交点就说明这条直线与这个圆是相切的；同理也可说明直线与另一个圆也相切！

同学们报以热烈的掌声，脸上都荡漾着成功的喜悦，并高声说：“小子，真不愧是数学才子！”我也对学生们投向赞许的眼光并鼓励：“我相信你们是最棒的！你们是一定会超越我的，毕竟我只考取了师大，而你们中的许多人都可以考取名校！加油吧！小年轻们！”

正当大家沉浸在兴奋与喜悦中时，同学7淡淡地问了一句：“那当两圆相离时，为什么还是有这条直线？这条直线与两圆的位置关系是怎样的？”大家的心境立即来了个大转弯，又重新投入到新的战斗中！我对这个问题也没有认真研究过，于是，我又把问题抛还给同学们：“这位同学提得非常好，的确两圆的位置关系有三大类，还有相离这种情况我们还没研究；为什么相离也还有这条直线？它与两圆的位置关系又如何呢？挖掘你们的智慧与潜力吧！”大家都陷入了思考中……（停顿了几分钟）

有几个学生举手示意他（她）们想到了，于是我点名提问了一个平常较内向的女生。

学生8：腼腆地说：“其实这个问题在前面也已经证明了，因为当两圆相离时，联立两圆方程所得的方程组无解也就是方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0无解，这就说明直线与圆C1是相离的，同理可证明直线与圆C2也是相离的。”（稍微停顿了一下，我以为她回答完了她想到的。）

老师：大家对这位同学的回答表示赞扬！（掌声热烈）其实每个同学都有自己的独到之处，很多时候只要我们敢于去表达我们自己的想法，你就会发现其实我们和其他老师常表扬的学生一样优秀！平常较少发言的同学们，大胆尝试吧！你会发现当你敢于发言后你的世界变得更精彩！学生8示意她还想发言。

学生8：其实我发现这条直线不管它与这两圆的位置关系如何，这条直线与两圆的圆心连线互相垂直。

老师：是吗？依据呢？（同学们中一部分也在疑问，一部分则很快就点头肯定了她的回答）

学生8：因为两圆的圆心坐标分别为C1-D12，-E12、C2-D22，-E22，所以这两点连线的斜率为KC1C2=-E12--E22-D12--D22=E2-E1D2-D1；而直线（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0的斜率为Kl=-D2-D1E2-E1，所以KC1C2·Kl=-1即KC1C2⊥Kl；当然还得考虑当有一条直线的斜率不存在的情况结论仍然成立。不过，为了避免分类讨论，我们也可以求出直线C1C2的方程，C1C2：y--E22-E12--E22=x--D22-D12--D22（E2-E1）x-（D2-D1）y+D1E2-D2E12=0显然它与直线（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0是垂直的。

老师：很好，考虑得很全面，确实我们在学习数学的过程中，考虑问题一定要仔细与全面，尤其是对一些极端与特殊情况不能忘记。

二、 几点感悟与提升

（一） 教师要努力营造出使学生敢于提问与质疑的氛围

教育学家布鲁巴克说：“最精湛的教学艺术遵循的最高准则是让学生自己提出问题。”提出问题是探究性学习的最佳表现与创新的开始。所以，作为教师首先要在班级中培育出积极健康提问风气，只有这样才能为学生问问题的意识的成长提供土壤、阳光与水分；进而让其生根发芽、开花结果。

（二） 教师的教学以“问题”为中心或载体是较好的一种教学方法

只要有了问题，学生就才有了思考的方向、讨论的载体与展示的机会；课堂也就自然“活”起来了。当然这种问题，不一定要是教师设计或提出的，学生提出的在很多时候或许会打破教师的预设，但也有可能会让我们大家都进入到教学或学习的另一种境界。

（三） 课堂教学是有艺术的，课堂教学质量的高低就取决于课堂教学激励的艺术

精彩的课堂生成其实就是灵活应用好各种教学激励手段的过程；教学激励是否有效要看两个方面：一是是否有良好的师生关系；二是要看方法或手段的使用是否适当。

参考文献：

[1]陈禄胜.数学课堂教学激趣术[J].数学通讯，2014（8）下半月5-7.

[2]董入兴.意外探究，别样生成，不一样的精彩——“直线两点式议程”的教学[J].中学数学教学参考，2014（3）上旬13-15.

作者简介：

林志坤，福建省龙岩市，福建省長汀一中。