GGB软件在设置动态几何问题中的应用——以特殊位置问题为例

曾飞鹏

GeoGebra（GGB）是数学教授MarkusHohenwarter创建的免费动态教学软件，能将几何（Geometry）与代数（Algebra）以直观、易用的方式集于一体，其功能强大，操作简单，资源丰富，能够在电脑、平板、手机等设备上运行，占用空间小，被广泛应用于数学、化学、物理等学科教学.

动态几何是初中数学重要的教学内容，也是每年中考的压轴问题，以近年广东省中考为例，动态几何问题常常在中考中以几何图形中的动点、平移、旋转、折叠为背景，考察线段、面积的最值，以及运动过程中的特殊位置问题等，因此动态问题是初三复习重要专题，由于动态几何题目信息量大，有一定难度，若一堂课讲多道题，则只能就题讲题赶速度;若一堂课只讲一道题，则课堂效率低下，那么，充分利用题干，进行变式教学，显得尤为重要，而进行变式教学的关键是能编制出有代表性的例题，设置出恰当的问题，好的问题既能给学生以方法上的指引，又能引发学生探究问题的兴趣，还能培养学生举一反三的能力.GGB软件的动画功能，能帮助教师、学生通过数学实验，更好的发现数学问题，从而有效提高动态几何教学的效率.

本文在《在平板上利用GGB软件探究动态几何问题》课题组研究的基础上，以课题组公开课《动态几何中的特殊位置问题》的备课历程为例，简述利用GGB软件的动画功能设置动态几何中的特殊位置问题.

例题如图1，在矩形ABCD中，AB= 6cm，BC= 8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为lcm/s，同时，点Q从点D出发，沿DC方向以相同速度运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为f（s）（0

本题原型为2016年青岛中考题，若只就题讲题，则课堂会略显单调，学生所学的思想方法不能及时加以应用巩固，不妨将本题作如下几方面思考研究：

1 与面积有关问题

以广东省中考为例，压轴题通常会在动态几何背景下，考查二次函数相关知识，而动态几何与二次函数相结合的问题中，面积问题又是最常见的考题，哪些三角形面积可表达为关于某个自变量的二次函数形式呢？怎样巧妙设问，才能达到预设效果呢？对于这些问题，GGB软件可以很快解决，如图2，选定点P，E，Q，构造APEQ，输入（距离（A，P），面积（P，Q，E）），得到以t为横坐标，PEQ的面积为纵坐标的点，，跟踪点，的轨迹，可以得到APEQ的面积关于t的函数图象，依据图像，可以发现PEQ的面积是关于t的二次函数，符合中考考查题型，在此基础上，教师可根据实际情况，设置各种与函数最值有关的，或者与方程的解有关的问题，如问题（1）当APEQ面积最大时，求t的值，或者“当PEQ面积为16时，求t的值”;“PEQ面积可以等于10吗？若能，求t的值，若不能，说明理由”等等，这类问题利用差值法可以轻松得到SAPEQ=t2-7t +24，当APEQ的面积最大时，t=7/2;当△PEQ面积为16时，;由 或者由+24=10无解，可得△PEQ面积不可以等于10.用同样的方法操作方法，还可以提出问题（2）当时，求f的值.

2 与角有关问题

随着点P，点Q运动，图形中大量的角也在随之变化，根据角的变化，大致可以设置一下两种基本题型.

2.1 直接由角的关系设问

如图3，度量∠POD，∠COD.启动动画，发现随着点P，点Q运动，∠POD逐渐减小，据此，可提出问题（3）当OD平分∠COP时，求t的值，通过数学实验，发现OD平分∠COP是存在的，那么，这类问题是否符合初中学生知识结构？我们知道，对于角平分线相关问题，大致可以从角平分线的性质定理和角平分线的定义两个角度来解决问题.

2.2 由线的位置关系设问

线的位置关系可由角的大小或者角与角之间的大小关系决定，所以，可以通过度量角来设置与线的位置关系的问题，如图5，设BD，AC交于点G，度量∠DGQ，可以发现，随着点P、点Q运动，∠DGQ逐渐增大，当达到某个位置时，∠DGQ= 900，据此，可提出问题（4）当PQ上BD时，求，的值，而解决这类问题涉及知识点为初中常见考点：利用相似三角形的性质或三角函数列方程，简单思路如下：由题意知∠PQD= ∠BDA，所以tan∠PQD= tan∠BDA，，列方程，得t=32/7，若想考查学生利用相似三角形的性质或三角函数解题能力，还可以提出更为新颖的问题（5）当点P，点F，点Q共线时，求t的值，实际上，该题只要将三点共线转化为∠PQD=∠ACD，从而tan∠PQD= tan∠ACD，列方程，得t=24/7，我们还容易发现，当∠DBC=∠QEC时，QE∥DB，那么有问题（6）当QE∥DB时，求t的值，启动动画，发现当O

3 與线段数量关系有关问题

在GGB绘图区显示将想要考察的线段标签，如本题线段AP的标签为线段a，将线段的长从代数区拖入绘图区，如图6，清晰地显示在运动变化过程中，各线段大小的变化情况，我们提出问题（7），当FQ=PO时，求t的值，而解决本题的关键是利用ADFQ

我们还可以进一步探究，设置一些符合初中生认知水平的问题，当然，探究出来的问题，既可以教师直接提出，也可以启发学生自行设置;既可以在课堂与学生共同完成一部分，还可以留一些问题作为课后思考与练习用以加强与巩固，总之，利用GGB进行数学实验，发现问题，提出设想，通过演算验证，从而设置出恰当的习题，既能提高教师备课效率，又能提高课堂效率，解放学生，在教学中，教师不妨遇到有价值的习题，多利用信息技术工具进行数学实验，在不断地研究过程中，发现新问题，与学生共享新的发现，将课堂提升为探究式的、研究性的新型课堂教学模式，