一道题的错解的教学实录与思考

潘颖艺

以下是在基本不等式新授课后一堂习题课给出的一道题.

1 题目

2 教学实录

师：以上解法1的过程中，采用“1”的代换形式，构造出基本不等式的结构式再进行求解，

所以，生乙解答过程中，两次运用基本不等式时，出现等号成立条件前后不一致，此时√2不是所求最小值了，生丙只运用一次基本不等式，满足等号成立的条件，

师：因此，以后大家在运用基本不等式求最值时，一定要非常重视它成立条件，即：一正、二定、三相等，缺一不可.

3 教学思考

3.1 寻找解题过程的来龙去脉，深入理解所学知识的合理性

那么，本题是怎样想到利用“1”的代换求解最小值呢？学生自己又怎能自然而然地想到用这种方法解题呢？解法1的思路像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外，教师如何有启发性地提出这样一个问题的解题思路呢？

基于此，在课堂教学中教师可以引导学生联想起一个以前曾经求解过的与当前题目紧密相关的题目，给出以下一个例题：若tana=2，求sin2 a+2sina·cosa-3 cos2 a的值？

当时，本题其中有一种解法思路，就是利用1= sin2 a+cos2a，将所求式子转化为齐次分式后，切化弦求解的，那么，这个解题思路对本题解法1的启发是什么呢？

3.2 多角度联想，寻求问题解决的通性通法

常言道：条条道路通罗马，以上错解告诉我们：在谨记基本不等式成立的三个条件下，可以充分发挥基本不等式的作用解题，还可尝试用代入消元的方法，即：

从以上得到的式子a（2-a），也可以用二次函数配方法求最值，除此之外，后续导数知识学完后，本题也可考虑用求导方法求解，那么，在这些解法中，哪种才是解决这一类问题的通性通法呢？

从基本不等式应用来看，应用它求最值，条件苛刻，需要“正数、定值、相等”三个条件缺一不可;从求最值角度看，构造关于某一变量的函数关系式，利用函数性质求解，能解决基本不等式不能解决的问题，学生较容易理解，是通性通法，而应用基本不等式求最值达到锦上添花的效果.

3.3 错题：走过，路过，不要“错过”！

为什么学生乙会出现解题上错误呢？学生乙只是依葫芦画瓢，解题过程欠思考，造成了听懂≠会做，错解的出现，给了学生检验自身的逻辑漏洞或知识缺陷的有利时机，也让教师能够引导学生对知识的理解，可以从陈述性知识向程序性知识深化，提高学生对知识的元认识能力;再者，错题的反思，学生可以多角度去思考同一个题目，达到知其然、知其所以然、知何由以知其所以然的效果，因此，错题的出現，必然要做到“工欲善其事，必先利其器”，错题作为学习的一种很好资源，不要“错过”，利用好它，对高二文科生的数学学习来说是非常有帮助的.