倡导以形助数，培养思维品质

陈荣凡

数学家克莱因认为：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”，心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”，在数学教学中，运用数形结合思想，借助几何直观，使某些抽象的数学问题具体化、形象化，能够把抽象思维演化为形象思维，能够开发学生的创造激情，有助于把握数学问题的本质，更好发现数学问题的思路，从而避免复杂的推理与计算，简化了解题的过程，同时形成良好的思维品质，纵观近年来的数学试题，巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，“以形助数”可起事半功倍的效果，下面笔者结合自身的高中数学教学实践，就高中数学教学中如何倡导以形助数，培养思维品质，谈谈个人的一些思考.

1 借助直观感知，以形助数

几何直观贯穿在整个数学学习过程中，教师通过重视直观感知，重视数形结合等方法，培养学生几何直观能力，如在三棱锥外接球表面积问题中，若能结合几何直观进行求解，则可起到事半功倍的效果，在椭圆方程求解中同样也可数形结合，直观感知，则水到渠成，同时通过重视直观感知，增强了学生的逻辑思维能力，培养了学生的思维品质，

例1 （2015年高考新课标Ⅱ卷·理9）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB= 90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（  ）

A.36π

B.64π

C.l44π

D.256π

解析如图1，底面AOB的面积为定值，由可直观感知得，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，

解析本题给定的4个点恰有三点在椭圆C上，首先要判定这4个点中哪三点在椭圆上.从几何直观考虑，椭圆关于其长轴、短轴是对称的，考虑四个点的对称性可以判断哪些在椭圆，根据椭圆对称性，必过P3，P4，又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，

2 借助转化思想，以形助数

函数与方程思想是中学数学的基本思想，其蕴含转化思想，函数问题可转化为方程问题来求解，方程问题亦可转化为方程问题来求解，通过转化，借助函数图象使问题迎刃而解，

例3已知方程2-x+X2=3，则其实数解的个数为——.

解析原方程是指数与二次的“超越”方程，直接求解困难，可将问题进行转化，借助转化思想，转化为求两个函数图象的交点的个数问题，原方程可转化为3-X2=2-x，此时，得到y=3-X2，y= 2-x，借助图象（如图2）可知有2个交点，故方程有2个实数解，

解析求函数的零点的问题一样可转化为求两个函数图象的交点的个数问题，借助的一样是转化思想，此类问题借助图形做出定性判断是解题的常用思路，本题可做出y=f（x）的图象，如图3，而y=alxl的图象如图“V”形，欲使两图象有4个交点，借助图象可知以∈（1，2）.

3 借助特殊思想，以形助数

特殊与一般思想是中学数学的一种重要的数学思想和方法，解决问题时，以特殊问题为起点，从解决特殊问题的规律中，寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，在有关问题中，抓住其特殊之处，特别是图形的特殊情形，以形助数，大大简化了解题的过程，

例5 （2015年高考全国课标I卷·理16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是____.

解析本题乍一看，无从入手，借助图形，利用极限思想，考虑D点在特殊位置，把问题转化为解三角形的问题，利用正弦定理即可解决问题.

4 借助幾何意义，以形助数

几何意义即几何图象所具有人直观性质，借助几何意义，可使代数问题几何化，从而利用几何图形（几何知识）解决代数问题，

以形助数，数形结合，充分利用几何图形的直观性，简单简捷地解决高中数学问题，让我们感受借助图形求解数学问题的魅力如所在，而在教学中，如何更好地倡导以形助数，培养学生的思维品质，是每个数学教育工作者都应该深思的问题.