迷人的特殊素数

谢鸣

最近，一位来自美国佛罗里达州的业余数学爱好者，发现了人类已知的最大素数2^82589933-1;该数有24862048位，如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过100公里！有关专家认为，这是数学领域的一项重大突破。

众所周知，数学的起点是自然数，自然数的基础是素数（prime numbers）。素数又称质数或不可约数，是指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数;换句话说，就是该数除了1和它本身以外不再有其他约数的数。比1大但不是素数的数称为合数，1和0既非素数也非合数，而合数是由若干个素数相乘而得到的。

2300多年前，古希腊数学家欧几里得已证明素数有无穷多个，如2、3、5、7、11、13等等。由于素数具有许多独特性质，它一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者;人们对它的认识和研究有一个过程，是逐步深化的。在数学中，有几种特殊素数十分迷人。

梅森素数

形如2^P-1（即2的P次方减1，其中指数P为素数）的数，称为梅森数。它是以17世纪法国数学家梅森（M. Mersenne）之名命名的;如果梅森数是素数，就称为梅森素数，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。

梅森在欧几里得、费马等人有关研究的基础上，对2^P-1z做了大量的计算和验证，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：在不大于257的素数中，当P=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 时，2^P-1是素数，其他都是合数。前面的7个数（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所证实，而后面的4个数（即31、67、127、257）则是梅森自己的推断。当时有人相信梅森的断言（也称“梅森猜想”）是正确的，但后来人们才知道他的断言其实包含着若干错漏。

在手算笔录年代，人们历尽无数艰辛，一共只找到12个梅森素数。而电子计算机的出现，尤其是网格计算时代的到来，大大加快了梅森素数探究的步伐。至今人们已找到51个梅森素数，其中最新最大的是2^82589933-1;该数也是人类已知的最大素数。目前全球有近70万人参与一个名为“互联网梅森素数大搜索”的国际合作项目，动用了超过185万核中央处理器，联网来寻找新的梅森素数。

在梅森素数的基础研究方面，法国数学家卢卡斯（F. Lucas）和美国数学家雷默（D. Lehmer）都作出了重要贡献;以他们命名的“卢卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森数素性的最佳方法。另外，中国数学家及语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式;这一研究成果被国际上誉为“周氏猜测”，并受到了很高的评价。

17世纪法国数学家梅森

费马素数

形如2^（2^N）+1（其中指数N为非负整数）的数称为费马数，它是以17世纪法国数学家费马（P. Fermat）之名命名的;如果费马数是素数，就称为费马素数，如2^（2^0）+1=3、2^（2^1）+1=5、2^（2^2）+1=17、2^（2^3）+1=257等。

费马于1640年提出一个猜想：2^（2^N）+1的数一定为素数，但他并没有给出一个完全的证明。1732年，瑞士数学家及物理学家欧拉（L. Euler）在研究这个问题时发现，2^（2^5）+1=641×6700417不是素数;这意味着它是一个合数，因此费马猜想是错误的。以后人们又陆续找到了不少反例，如2^（2^6）+1=274177×67280421310721、2^（2^7）+1=59649589127497217×5704689200685129054721等。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那5个外，竟然没有再发现一个！

目前，许多数学难题的研究都是利用计算机的高速运算功能来进行的，但即使如此，所得结果也很有限。例如，目前只知道5个费马数是素数，并发现226个费马数是合数，但这对于无限个费马数来说，可以说知之甚少。

顺带一提，费马小定理是现代素数判定方法的基础，如果该定理的逆命题成立的话，那么判别素数就变得很容易了。不幸的是，费马小定理的逆定理并不成立，使之不成立的合数称为伪素数，可见伪素数在数学的研究中占有重要地位。

实际上，千百年来，人们一直在寻找这样一个能求出所有素数的公式。但直到现在，谁也未能找到这样一个公式，而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在。虽然费马猜想失败了，但有意思的是，1801年德国数学家及物理學家高斯（J. Gauss）却证明了参照费马素数，可以用直尺和圆规将圆周等分;他本人就据此作出了正十七边形。

孪生素数

孪生素数也称为双生素数，是指一对素数，它们之间相差2，如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。目前已知的一对最大孪生素数为2996863034895×2^1290000±1;它有388342位数，是在2016年9月发现的。

在手算笔录年代，人们历尽无数艰辛，一共只找到12个梅森素数。

费马素数除了被费马本人所证实的那5个外，竟然没有再发现一个！

欧几里得是最早注意到孪生素数这种有趣现象的人，他曾大胆猜想：存在无穷多对孪生素数。这一猜想被称为“孪生素数猜想”。

法国数学家波利尼亚克（A. Polignac）在1849年提出了更一般的猜想（即“波利尼亚克猜想”）：对所有正整数K，存在无穷多个素数对（P，P+2K）。K等于1时就是孪生素数猜想，而K等于其他正整数时就称为弱孪生素数猜想（即孪生素数猜想的弱化版）。因此，也有数学家把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。

英国数学家哈代（G. Hardy）和李特尔伍德（J. Littlewood）在1921年提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，现在通称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”（即孪生素数猜想的强化版）。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。由于孪生素数的分布极不均匀，并且随着数的增大变得越来越稀疏，研究孪生素数分布模式的难度也就非常之大。

值得一提的是，在孪生素数的基础研究方面，美籍华人数学家张益唐取得了重大突破;他在2013年证明：存在无穷多个之差小于7000万的素数对。虽然7000万貌似一个非常大的数字，但不管数字多大，有限范围的存在意味着，相连素数之差并不是一直增长的;而且，从2到7000万的跨越，与7000万到无穷大的跨越不可同日而语。

回文素数

回文素数（palindromic primes）是指既是素数又是回文数的整数，如十进制中的11、101、131、151等。除了最小的回文素数11，偶数位的数不存在回文素数。人们已知：两位回文素数1个，三位回文素数15个，五位回文素数93个，七位回文素数668个，九位回文素数5172个。目前已知最大的回文素数有320237位数，是在2014年3月发现的。

需要指出的是，回文素数与记数系统的进位制有关。目前，人们还不知道在十进制中是否有无穷多个回文素数;在二进制中，回文素数包括梅森素数和费马素数。

这些特殊素数有的具备实用价值（如梅森素数），有的还看不到任何实用价值（如孪生素数）。不管怎样，它们都是著名的数学难题。探究这些难题，揭开其奥秘，正是人们长久以来的科学追求。正如德國数学家希尔伯特（D. Hilbert）所言：“我们必须知道，我们必将知道。”