由湖盆摩阻效应激发的地震涌浪的理论计算

田 林 桃

(西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031)

在强震作用下，湖盆底部和边壁会产生强烈的震动，使水体产生剧烈的运动从而产生涌浪。目前对地震涌浪的研究，多采用理想化水库模型，并不考虑库底由于不平整和植被卵石等因素的存在而具有的糙率，并且将水体也视为理想流体而不考虑粘滞力。佐藤清一[1](1967)在半无穷水体的基础上忽略水体的粘滞力与底部不平整度建立模型，以长波理论简化N-S方程建立控制方程并在将地震波简化为正弦波的基础上得到了波高的解析解。

但自然界中的宽浅水体，如冰碛堰塞湖[2]等(杨瑞敏，2012)往往具有水深较浅、边壁不明显、底部极不平整等特征，因而湖盆底部往往具有较大的糙率。并且大部分水体接触的是湖盆底部，我们认为地震导致的涌浪能量主要来自于湖盆底部的振动。根据我们已开展的大型振动台水箱模型实验，发现在地震作用下糙率会放大涌浪高度，传统的计算方法无法解释这一现象。

综上所述，湖盆底部所存在的糙率对地震涌浪的作用是不可忽略的。本文基于大型振动台造波模型试验进行了以下研究，并以冰湖为实际案例进行了涌浪高度计算。

1 振动台实验

1.1 实验模型参数

本文选取川藏铁路公路沿线冰湖中具代表性的多依弄巴终碛湖[3]，按照几何相似与弗劳德相似准则确定实验模型参数，主要物理相似关系见表1。

表1 冰湖原型及实验模型数据

1.2 实验方法

本文利用大型振动台进行造波模拟实验，实验装置如图1所示，为模拟湖盆底部存在群潜坝时的工况，我们将2 cm×2 cm×1.75 m的木条作为潜坝以坝间距为37.5 cm的形式均布在水箱底部，布置方式可见图2。实验共设置7组初始水深，每组水深包括4个不同的地震峰值加速度，实验使用2008年“5·12”汶川8.0级地震时卧龙站记录的南北向的地震波作为振动台输入信号，水箱安装在振动台上，振动台对水箱的晃动过程相当于地震对水体的作用过程。

实验先以不同峰值加速度的汶川波作为驱动信号，获取不同初始水深下水箱底部加糙的实验数据。同时，为校验本文理论推导公式的正确性，在水箱底部光滑的情况下重复上述实验并记录结果。

2 涌浪公式

2.1 模型假设

在进行公式推导之前，首先结合前文内容对地震涌浪模型提出4个基本假设：

1)由于地震涌浪时程曲线波形与地震波的良好跟随性以及水体能量来源于水箱底部和边壁做功，本文假设在地震波作用期间水箱对水体做正功；本文讨论由底部摩阻效应引起的地震涌浪，故假设水体能量全部由摩阻切应力做功得到。

2)在实际的状态中，湖盆底部任意位置的切应力应与该处流速正相关，本文在此假设湖盆底部任意位置摩阻切应力大小相等即等值均布与整个湖盆面，拖曳力大小等于摩阻切应力与湖盆面积的乘积，以此简化湖盆对水体的作用力计算。

3)在地震作用期间，水体运动满足水波理论中的长波模型，即水体能量、流速等均可以使用水波动力学中的波动方程求解。

4)在计算摩阻切应力公式中，分子项为两个截面流速差，本文将摩阻流速取值为地震湖盆运动最大速度(地震动峰值速度)与同向水体最大速度的差值。

2.2 控制方程

水波理论中水体运动的波动形式为：

η=acos∂(x-ct)

(1)

μ=bcos∂(x-ct)

(2)

其中，μ为水体水平方向速度；η为水体竖直方向位移。

长波理论中的连续性条件为：

μxh=ηt

(3)

将上诉波动形式代入偏微分方程中得到：

-bh∂=a∂c

(4)

化简之后得到此时的μ的形式为：

(5)

其中，h为静水深；c为波速；a为最大波高。

湖盆底部的摩阻切应力可以表示为：

(6)

(7)

其中，n为糙率；h为水深。

根据水波理论单波长的能量可以确定水体总能量为：

(8)

其中，E为水体总能量；a为地震涌浪最大高度；λ为波长；L为湖盆长度。

根据振动台目标位移波我们可以近似计算振动台在地震发生到涌浪高度达到最大时的路程。于是由能量守恒定理可以得到能量控制方程为：

(9)

其中，τb为摩阻切应力；A为湖盆面积；S为地震发生至涌浪高度达到最大时湖盆的行进路程。

(10)

(11)

其中,U为摩阻流速;f为地震波主频;c为波速;G为地震峰值加速度。

将所有参数代入控制方程以后可以得到能量守恒方程为：

(12)

对建立的控制方程进行求解，方程为关于一个未知自变量a的一元二次方程，其解为:

(13)

其中，a为底部摩阻效应引起的地震涌浪；G为地震动峰值加速度；f为地震波主频；L为湖盆长度；A为湖盆面积；S为地震作用中湖盆活动总路程；c为波速。

对于方程中湖盆活动总路程S的计算方法，我们采用seed有效循环次数法[4]的简化地震波的方式，取对应地震位移波峰值的65%作为等值幅值，循环次数取20周，于是S计算公式为：

(14)

本文首先通过4个基本假设对底部摩阻效应激发地震涌浪的计算模型进行简化，将水体能量简化为湖盆摩阻切应力做正功，水体满足水波理论而用代入水波理论能量求解公式，两边建立等式关系，从而绕过了复杂的N-S方程求解，获得了地震涌浪最大浪高的理论公式。

2.3 公式验证

已知地震涌浪控制因素主要为边壁和底部摩阻效应，为了去除边壁对地震涌浪的作用，我们事先进行了底部平整即光滑底部的实验，所得数据可以视为是纯边壁作用下的地震涌浪最大高度hw，而布置潜坝的实验所得数据可以视为边壁和底部复合作用下的地震涌浪最大高度hf，于是由于底部摩阻效应产生的地震涌浪高度为：

h=hf-hw

(15)

其中，h为纯底部引起的地震最大涌浪高度；hw为纯边壁作用下的地震涌浪最大高度；hf为复合作用下的地震涌浪最大高度。

将对应的实验数据代入公式后得到纯底部引起的地震最大涌浪高度的实验数据，用实验数据对公式计算值进行验证，公式计算值与实验数据比对结果见图3～图6。

3 实例分析

藏东南帕隆藏布的支流米堆沟上游终碛湖光谢错[5]的溃决临界水深为Hb=0.84 m,考虑冰湖发生地震时地震波为汶川地震波，冰湖平均水深为10.4 m，平均宽为400 m，湖长为680 m。根据米堆冰湖的地形图知冰湖有明显的坝面，所以涌浪高度的计算并不能忽略边壁效应，边壁作用的涌浪高度可由佐藤清一的计算公式求得，最终预测涌浪高度为:

hf=hw+h

(16)

其中，hf为复合作用下的地震涌浪高度;hw为佐藤清一公式计算值;h为湖盆摩阻效应单独作用地震涌浪浪高。

通过利用公式进行计算，我们可以发现当地震波主频为1.55 Hz，地震峰值加速度为0.5g时复合作用地震涌浪最大浪高刚好超过溃决临界水深了，而地震涌浪最大浪高大小与地震波主频、地震峰值加速度成正比，故当地震波主频大于1.55 Hz的地震波作用下的地震涌浪最大浪高没有超过溃决临界水深。

4 结语

1)地震涌浪时程曲线与地震波波形有良好的跟随性，两者波形基本保持一致，而地震涌浪所需要的能量来源于地震作用下水箱运动对水体所做的功，静水深越大，边壁做功获得的能量越多，底部面积、糙率越大，湖盆底部做功获得能量越多。而涌浪时程曲线与地震波一致性可以说明水箱对水体更多做正功。

2)通过对实际案例的分析，地震涌浪的最大涌浪高度与地震波主频、地震峰值加速度成正比，结合已有的溃决临界水深的计算方法，可以判别冰湖可能出现溃决的地震波主频范围，以及地震波峰值加速度大小，从而为川藏铁路公路沿线的冰碛堰塞湖灾害治理、防护提供计算依据。