两个含Smarandache LCM函数的复合数论函数方程的可解性

张明丽，高 丽，申江红

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

上世纪90年代，美国著名的数学家F.Smarandache[1]提出了许多新的数论问题，并定义了若干新的数论函数，对现代数论的发展产生了较大的影响。其中以F.Smarandache本人命名的Smarandache函数S(n)，以及在其基础上衍生出的若干数论函数，如Smarandache LCM函数SL(n)，近年来受到国内外诸多学者的广泛关注和深入研究。对于任意的正整数n，Euler函数φ(n)定义为在序列1，2，…，n-1中与n互素的整数的个数，Euler函数是数论中一个重要的积性函数。Smarandache函数S(n)表示为，对于任意的正整数n，S(n)=min{m∈Z:n|m!}。Smarandache LCM函数SL(n)表示为，对于任意的正整数n，若n=p1r1p2r2…pkrk，其中所列的p1，p2，…，pk均为素数且顺序排列，则Smarandache LCM函数SL(n)=max{p1r1，p2r2，…，pkrk}。近年来，关于上述数论函数方程相互结合求解及性质的研究备受关注。张天平[2]研究了复合欧拉函数方程φ(φ(n))=2Ω(n)的奇数解；田呈亮[3]研究了复合欧拉函数方程φ(φ(n))=2Ω(n)的正整数解；多布杰[4]研究了复合欧拉函数方程φ(φ(n))=2t的可解性问题。

近期，王洋、张四保[5]研究了复合欧拉函数方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2的可解性问题，但求解过程较为繁琐，故袁合才、王波等[6]对其求解方法加以简化，研究了复合欧拉函数方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=4，6的可解性问题。张利霞、赵西卿等在文献[7-8]中分别研究了数论方程S(SL(n))=φ(n)，

S(SL(n))=φ2(n)的可解性，郭梦媛、高丽等在文献[9]研究了S(SL(n2))=φ2(n)的可解性。本文基于此，探究了含Smarandache LCM函数的复合数论函数方程φ(φ(n-S(SL(n))))=8，10的可解性问题。

1 相关引理

引理2[7]当n≥2时，有φ(n)

引理3[7]对于整数k和素数p，有S(Pk)≤kp；当且仅当k

证明由引理1—引理3易知，当满足条件时，

l=n-S(SL(n))≥n-kp≥

则有l+1≤n≤2l,证毕。

2 主要结论及其证明

定理1 含Smarandache LCM函数的复合数论函数方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=8

(1)

的正整数解为n=34，51，50，30，44，55，72，77，42，49，45，52，54，56，65，64，81，91，90，98，100，62，93。

证明因为φ(φ(n-S(SL(n))))=8，所以

φ(n-S(SL(n)))=15，16，20，24，30。下面分5种情况加以讨论：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=15，由引理2可知式(1)无解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=16，则

n-S(SL(n))=17，32，34，40，48，60。

当n-S(SL(n))=17时，由引理4，此时18≤n≤34，将其逐一代入验证，只有n=34满足

n-S(SL(n))=17，即n=34为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=32时，由引理4，此时33≤n≤64，将其逐一代入验证，此时式(1)无解。

当n-S(SL(n))=34时，由引理4，此时35≤n≤68，将其逐一代入验证，只有n=51满足

n-S(SL(n))=34，即n=51为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=40时，由引理4，此时41≤n≤80，将其逐一代入验证，只有n=50满足

n-S(SL(n))=40，即n=50为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=48时，由引理4，此时49≤n≤96，将其逐一代入验证，此时式(1)无解。

当n-S(SL(n))=60时，由引理4，此时61≤n≤120，将其逐一代入验证，此时式(1)无解。

情形三：若φ(n-S(SL(n)))=20，则

n-S(SL(n))=25，33，44，50，66。

当n-S(SL(n))=25时，由引理4，此时26≤n≤50，将其逐一代入验证，只有n=30满足

n-S(SL(n))=25，即n=30为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=33时，由引理4，此时34≤n≤66，将其逐一代入验证，只有n=44满足

n-S(SL(n))=33，即n=44为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=44时，由引理4，此时45≤n≤88，将其逐一代入验证，只有n=55满足

n-S(SL(n))=44，即n=55为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=50时，由引理4，此时51≤n≤100，将其逐一代入验证，此时式(1)无解。

当n-S(SL(n))=66时，由引理4，此时67≤n≤132，将其逐一代入验证，只有n=72，77满足

n-S(SL(n))=66，即n=72，77为式(1)的解。

情形四：若φ(n-S(SL(n)))=24，则

n-S(SL(n))=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90。

当n-S(SL(n))=35时，由引理4，此时36≤n≤70，将其逐一代入验证，只有n=42，49满足

n-S(SL(n))=35，即n=42，49为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=39时，由引理4，此时40≤n≤78，将其逐一代入验证，只有n=45，52满足

n-S(SL(n))=39，即n=45，52为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=45时，由引理4，此时46≤n≤90，将其逐一代入验证，只有n=54满足

n-S(SL(n))=45，即n=54为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=52时，由引理4，此时53≤n≤104，将其逐一代入验证，只有n=56，65满足n-S(SL(n))=52，即n=56，65为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=56时，由引理4，此时57≤n≤112，将其逐一代入验证，只有n=64满足

n-S(SL(n))=56，即n=64为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=70时，由引理4，此时71≤n≤140，将其逐一代入验证，此时式(1)无解。

当n-S(SL(n))=72时，由引理4，此时73≤n≤144，将其逐一代入验证，只有n=81满足

n-S(SL(n))=72，即n=81为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=78时，由引理4，此时79≤n≤156，将其逐一代入验证，只有n=91满足

n-S(SL(n))=78，即n=91为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=84时，由引理4，此时85≤n≤168，将其逐一代入验证，只有n=90，98满足

n-S(SL(n))=84，即n=90，98为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=90时，由引理4，此时91≤n≤180，将其逐一代入验证，只有n=100满足

n-S(SL(n))=90，即n=100为式(1)的解。

情形五：若φ(n-S(SL(n)))=30，则

n-S(SL(n))=31，62。

当n-S(SL(n))=31时，由引理4，此时32≤n≤62，将其逐一代入验证，只有n=62满足

n-S(SL(n))=31，即n=62为式(1)的解。

当n-S(SL(n))=62时，由引理4，此时63≤n≤124，将其逐一代入验证，只有n=93满足

n-S(SL(n))=62，即n=93为式(1)的解。

定理2 含Smarandache LCM函数的复合数论函数方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=10

(2)

的正整数解为n=46，69。

证明因为φ(φ(n-S(SL(n))))=10，所以

φ(n-S(SL(n)))=11，22。下面分2种情况加以讨论：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=11，由引理2可知式(2)无解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=22，则

n-S(SL(n))=23，46。

当n-S(SL(n))=23时，由引理4，此时24≤n≤46，将其逐一代入验证，只有n=46满足

n-S(SL(n))=23，即n=46为式(2)的解。

当n-S(SL(n))=46时，由引理4，此时47≤n≤92，将其逐一代入验证，只有n=69满足

n-S(SL(n))=46，即n=69为式(2)的解。