标准化解法：含有倒数关系的条件最值

王国海

摘 要：考出佳绩是教学所追求的目标。将自制的标准化解法《导学案》呈现出来，其根本目的在于帮助大家轻松“秒杀”含有倒数关系的条件最值问题，从而消除痛失“掌中分”的遗憾。

关键词：倒数关系；条件最值；标准化解法

含有倒数关系的条件最值问题我们耳熟能详，错误率却居高不下。那么，出现这种情况的原因是什么？原因是解答五花八门、杂乱无章。基于此，现将我制作的标准化解法《导学案》呈现出来，以供大家借鉴。

一、重要模型

已知ax+by=m（a、b、c、d、m都是正数，x>0，y>0），求 + 的最小值。

二、经典解答

∵（ax+by）（ + ）=ac+bd+ad +bc ≥ac+bd+2 ，∴ + ≥ = ，当且仅当ad =bc 时等号成立。∴ + min= 。

三、解题步骤

第一步，将条件等式左边的代数式与研究式相乘，并且写出运算结果；

第二步，利用基本不等式求出积式的取值范围；

第三步，两边同时除以左边的代数式，得出研究式的取值范围；

第四步，作答。

【典例】已知a>0，b>0，a+b=1，则 + 的最小值为______。

【解析】∵（a+b）（ + ）=2+ + ≥2+2 =4，∴ + ≥ = =4，当且仅当a=b= 时等号成立。∴ + min=4。

【答案】4（由 = 及a+b=1得a=b= ）

【母题变式】本典例的条件和结论互换：已知a>0，b>0， + =4，则a+b的最小值为________。

【解析】关键步骤：①（ + ）（a+b）=2+ + ≥4；②a+b≥ =1。

【答案】1。

【拓展变式】若直线 + =1（a>0，b>0）过点P（1，1），则a+b的最小值等于（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】关键步骤：①由直线 + =1过点P（1，1）得 + =1；②a+b≥4。

【答案】C。

【跟踪练习】

1.已知x>0，y>0，x+3y=1，则 + 的最小值是_________。

【解析】关键步骤：①（x+3y）（ + ）≥4；② + ≥4。

【答案】4。

2.已知 + =2（a>0，b>0），则a+b的最小值等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】关键步骤：①（ + ）（a+b）≥4；②a+b≥2。

【答案】B。

3.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则 + 的最小值是（ ）

A.2 B.2 C.4 D.2

【解析】关键步骤：①由lg2x+lg8y=lg2得x+3y=1；② + ≥4。

【答案】C。

【課时作业】1.若直线ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 + 的最小值为（ ）

A.2 +3 B. + C.3 D.

【解析】关键步骤：①由（x+1）2+（y-2）2=4得圆心C（-1，2）、半径r=2；由弦长为4知直线过圆心，即a+2b=2；②（a+2b）（ + ）≥3+2 。

【答案】B。

2.已知a>0，b>0，若不等式 + ≥ 恒成立，则m的最大值是_________。

【解析】关键步骤：①由 + ≥ 得m≤（a+3b）（ + ）；②（a+3b）（ + ）≥12。

【答案】12。

笔者认为，只要掌握了这种标准化解法，就能轻松“秒杀”这类条件最值问题，相信你的数学成绩一定会有大幅度的提高。

参考文献：

杜志建.小题狂练[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2013.

编辑 马晓荣