挖掘内涵明算理厘清本质通算法

屈婷

竖式是计算众多表达方式中的一种，它不仅是让学生掌握一种新的计算方法，更大的价值在于通过计算让学生进一步理解数位，体会位值的作用，增强数感。如何让学生明晰算理、内化算法？下面以人教版三年级上册《多位数乘一位数（一次进位）》为例，谈谈笔者的思考。

一、经验开路，理解意义

1.用小棒计算16+7，你准备怎么摆？16×3又该怎样用小棒表示？

2.加法、乘法是合的过程，怎样将3个这样的16根小棒合在一起？

3.合整捆是在算什么？得到的结果是多少？合单根呢？

4.最后的4捆8根也就是48是哪些数通过怎样的计算得来的？

（學生一般会忽略位值理解表达成“3和18加起来是48”。）

5.3加18得21，怎么得48呢？

小结：看来合整捆的时候我们实际上算是的10×3或者说1个十乘3。

板书：10×3=30 6×3=18 30+18=48

思考：动手合小棒是生活原型，从生活原型上升到算式表示的数学模型，中间需要一个“怎样合”的过程来过渡。在学生合并小棒的过程中，笔者先让学生表述合的过程，再引导学生将合小棒的每一个步骤都转化为运算意义的理解，并将每次乘的算式带着位值一一写出来，这样就为横式算法的建构提供了原型支撑。

二、挖掘内涵，明晰算理

1.16+7的竖式结果得多少？怎样写？16×3的竖式结果呢？请把你的思考过程记录在答题纸上。（展示十位积写2和6的错误写法）

2.竖式的十位结果出现了不同的答案，到底该写几呢？结合我们合小棒的过程想一想，也可以根据这些算式（指横式）看看你能得到哪些启发。

（学生根据摆小棒的结果和横式分拆的结果得出积的十位应该写4。）

3.这个4是怎么来的？为什么3还要和十位上的1相乘？难道仅仅是为了凑得十位上的4这个结果吗？

小结：要求3个16是多少，要把十位上的数和个位上的数分别与3相乘，乘完以后再把两个结果加起来。

4.算的是乘法，为什么乘完以后还要再加？合单根的时候，明明是把3个这样的6根小棒合在一起，应该用加法，可为什么写出的是乘法算式？

小结：加法和乘法都是合，各部分一样多，我们就用乘法来求和，各部分不一样多，我们就用加法来求和。先乘，是因为把3个1捆和3个6根分别合在一起时各部分相同，得到3捆和1捆8根后，这两部分不相同，所以要用加法来求和。

思考：根据加法竖式的启示，大部分学生在用一位数乘多位数的个位时会想到把进位数写在相应的位置，剩下的数写在个位，这点和加法的进位写法高度一致。十位积怎么写呢？这是学生认知的难点。因此，笔者引导学生将思维聚焦在这个问题上，让学生联系合小棒与横式分拆的过程思考竖式中积的十位的计算过程，从算式返回实物，为算式寻找意义。“乘完为什么还要加”这个问题也是学生心中绕不过的坎儿，笔者明知故问，激活学生心中乘法是特殊加法的简便计算的认知，这样竖式计算的每一步都能找到一重意义与之相联，学生就能从逻辑意义的角度去理解和解释积的十位数字的来历。

三、厘清本质，内化算法

1.看来用竖式计算16×3时，要先乘再加。先乘什么？再加什么？

小结：其实，不管是摆小棒，横式记录，还是竖式记录，16×3的计算方法在算理上是相同的。

2. 18、30和48这三个结果在竖式中该怎样记录？这些写法都对吗？（重点展示第二部分积的不同写法，把第二部分积“写成30”，“3写在个位”和“3写在十位”的作品一起展示，分别编号1、2、3）

3.方法2为什么不对？方法3也只写了一个3，为什么是对的？既然30和3都对，写哪个更简洁？

4.数学追求简洁。数学家最终采用这样的写法来记录（展示16×3的最简竖式形式）。复杂的计算需要分解成许多简单的计算，为了不遗忘中间步骤的计算结果，就需要进行记录，这就要用到竖式。这种写法记录了计算的步骤，又不至于遗忘中间步骤的计算结果，是最简洁的记录方式。你们能看懂吗？

5.（指进位1）1是怎么来的？十位上的4又是怎么来的？（板书：1×3+1）

思考：将算理转化为算法需要一个生长的过程。因此，在引导学生规范16×3的竖式写法时，笔者先让学生在“先乘后加”整体结构的指引下，探究如何在竖式中记录结果，并将实物、横式、竖式作了勾连，让三者互相支撑，形成一种思维的链条；接着对第二部分积“30”的写法进行了浓墨重彩的分析，让学生从位值的角度去理解阐释“怎样记录既对又简洁”，并顺势引出“最简写法”，体会一层竖式运算的合理性和简洁性；最后让学生将两层写法改为最简写法，进一步澄清算理、内化算法。

四、追根溯源，理法并进

1.最简竖式虽然简单，但是不太容易懂。你能看出这些竖式最后结果是由哪两个结果合并而成吗？

思考：此题给出简化的竖式结果，让学生寻找最终的积是由哪两部分积合并而来，目的有两个。一是让学生在头脑中调用表象经验和算法经验，进一步厘清乘法竖式计算每一步书写的含义，理解简化后积的来龙去脉；二是让学生体会到加法竖式和乘法竖式在进位时的不同：用竖式计算加法，十位加上的都是进上来的1，用竖式计算乘法，十位加上的除了个位进上来的1，还有其他数，但进位数最多不超过8，因为乘法口诀的最大积是九九八十一。

2.你能把这些竖式的计算过程补充完整吗？

思考：给出多位数乘一位数计算的部分积和一位数，让学生根据部分积和一位数去推断多位数某个数位上的数，旨在让学生用推理的方法逆向思考获得答案，感悟因数的某个数位与得到的部分积、最简积的运算关系，进一步固化算法表象，体会到数与数之间的因果关联，让学生对竖式的算理和算法的理解齐头并进。

3.这些题目更难了，你还能补充吗？

思考：此题的思维难度更进一层，开放性也更强，答案不唯一。只给定部分积，需要学生根据部分积去推断两个因数。学生需要先利用乘法口诀，推算两部分积分别是由哪两个数相乘得到的，再找到相同的因数，由此确定一位数是几，最后根据一位数和部分积来推断两位数的个位和十位分别是几。根据公有的因数确定一位数的思考过程难度最大，因为这个因数既要和个位数相乘，又要和十位数相乘。寻找因数的过程，不仅能培养学生的推理能力、运算能力，增强数感，还能为以后学习乘法分配律埋下伏笔。

总体反思

算理和算法是一体两面、互为表里的。乘法分配律是多位数乘一位数的算理基础。无论是乘法还是加法，都是在数一数、算一算一共有多少个最小的计数单位。鉴于此，笔者设计了由果溯因的逆向练习，让学生根据简化竖式的结果思考它是由哪两部分积合并而来，或者根据部分积推测因数可能是多少。理法并用是解此类题的关键。在解题过程中，学生的思维不断在简便写法与两层写法的转换中往返穿梭，在竖式结果与计算过程的获得中相互转换，夯实算法的同时，还能借助逻辑的力量将抽象的算理实化为具体的算法，提升学生对数与数之间关联的敏感度，进一步感悟各部分积的空间位置，在更高层次上提升学生的思维。

（作者单位：宜城市鄢城办事处窑湾小学）

责任编辑 张敏