变量形式不变性在一元微积分学中的应用

林伟奇

（福建信息职业技术学院，福建 福州 350003）

人们常说要发现数学的美，那数学的美到底在哪里呢？笔者觉得数学的美，其中会有很多高度概括、形式简洁的符号化的表达式，［1］变量的形式不变性实际上就体现了微积分学中的符号的简洁、统一。因此，要理解并掌握变量形式不变性思想。

1.变量形式不变性在求极限中的应用

大家都知道两个重要极限对于求一些未定式的极限是非常有用的。

说明：在此例要求极限的函数的指数中先给个--x是为了保持变量形式不变，再乘以是为了“平衡”，即-x·，再乘以2x，那是题目的要求。

说明：熟练之后，极限符号下的-2x→0也可以写为x→0.

2.变量形式不变性在微分中的应用

一阶微分形式不变性是微分学中一个重要的性质，它实际上也是体现了变量形式不变性的思想。

若函数y=f(u)可微，那么不管u为自变量还是可微函数（中间变量）u=φ(x)，其一阶微分的形式dy=f′(u)du不变［2］。这里，出现的是：dy=f′()d()的形式。它只要保持f′()d()的形式不变，不管括号内放的是什么变量，同样结果都等于dy。在y=f(x)中，有dy=f′(x)dx，这时括号内放的是最终变量（也称自变量）；在y=f(u)中，也有dy=f′(u)du，这时，括号内放的是中间变量。所以，这个性质还是体现了“变量形式不变性”的思想。

例5：y=sin(x3+1)，求dy。

解 ：设y=sinu，u=x3+1，则dy=d(sinu)=cosudu=cos(x3+1)d(x3+1)=3x2cos(x3+1)dx

说明：熟练之后，求复合函数的微分时，可不用写出中间变量，直接用一阶微分形式不变性来求函数的微分。

例6：y=etan2x，求dy。

解：dy=etan2xd(tan2x)=2tanxetan2xd(tanx)=2tanx·sec2x·etan2xd。

3.变量形式不变性在第一类换元积分法中的应用

说明：第一类换元法的解题思路：一般是从被积函数入“手”，将它拆成两部分让其中一部分凑到微分中去然后，再利用变量形式不变性结合基本积分公式求解。因此，第一类换元法，通常又称为凑微分法。该方法熟练后，可不必设u。

综上所述，变量形式不变性在一元微积分学中有很大的用处，它体现了数学符号的简洁、统一，并且传递着深刻的数学关系。［3］