保持象变换、保持核变换的充分必要条件

李春丽

摘要：象与核是线性变换的重要体现.本文在高等代数的基础上讨论了n维线性空间上的两个线性变换的象与象，核与核，象与核的关系，通过其特殊性推出一个线性变换的象与核的内在关系.其次，本文还研究了保持象和保持核的线性变换的形式。

关键词：线性变换；线性变换的象与核；保象变换；保核变换

线性变換的体现是其象与核.文中只是浅显的谈到象与核的一些关系，如象与核的维数关系及如何求线性变换的象与核，但不全面和完善.本文通过研究把此问题进一步深入，讨论线性变换的象与核的内在关系，及对保象变换与保核变换的形式刻划.

设A是线性空间V的一个线性变换，L（V）是空间上的线性变换组成的集合，A的全体象组成的集合为A的值域，记为：，也记为.所有被变成零向量的向量组成的集合为A的核，记为：，也记为

保持象变换与保持核变换的形式的刻划

线性变换的象与核与相应的矩阵相对应.刻划矩阵间保不变量的线性变换问题称为“线性保持问题”。

F是数域，V，W是F上的n维线性空间，是V到W的所有线性变换组成的集合构成的线性空间。

1.保持象变换、保持核变换的充分必要条件

定义4[5] 如果T是的一个线性变换，对任意，恒有，称T是上的保持核的线性变换.

定义5[5] 如果T是的一个线性变换，对任意，恒有，称T是上的保持象的线性变换.

定理1设F是数域，T是上的一个线性变换，那么T是保持核子空间的充分必要条件是：存在W的可逆线性变换h，使得.

证明 充分性.存在V的可逆线性变换，使得

，令，则有，

由推论有设L（V）是空间上的线性变换组成的集合，，则下列3个命题是等价的：

（1）；

（2）存在V的线性变换C，使得CA = B；

（3）变换方程XA=B在L（V ）中有解.

即.

故T是上保持核的子空间.

必要性.设，同理由推论1.12有，

存在可逆变换h，使得.

定理2.设F是数域，T是上的一个线性变换，那么是T保持象子空间的充分必要条件是：存在V的可逆线性变换h，使得.

此定理的证明应用推论1.2.2，类似于定理2.1可以证明.

推论1.1.1 设F是数域，T是上的一个线性变换，那T么是保持象子空间且保持核子空间的充分必要条件是：存在F中的非零数a，使得.

证明 充分性. a是F中的非零数，

则定义F中的数a与线性变换f的数量乘法为

，其中是单位变换，则是可逆的，有，

故，.

必要性.设，，

则存在可逆变换A，使得

，

即，则A一定是数量变换，

有，故.

2.线性变换的幂等秩变换保持象不变，保持核不变

引理[4] 设A是数域P上的线性空间V的一个线性变换，A是A下的矩阵，当rank=rank 时，有， ，t≥1.

证明 由rank=rank，有

= rank=rank，

而，即，

所以.

又，

而 ，所以 .

定理1.3 设A是数域P上的线性空间V的一个线性变换，则有 .

证明，则

，，

则，即 .

，

则，即.

依此类推，.

定理1.4设A是数域P上的线性空间V的一个线性变换，A是A下的矩阵，则rank=rank.

证明 若 ，则结论显然成立.

若 ，则n>rank≥rank≥……≥rank≥ rank≥0.

因为小于n的非负整数只有n个，所以上述的不等式中，必有两项是相等的.不妨设

rank=rank=……= rank，1≤k

因为rank=rank，所以齐次线性方程组X=0与X=0同解.

由此可得X=0与X=0同解，进而有

rank=rank.

事实上，X=0的解都是X=0的解.

反之，设为X=0的任意解，则有

（A）=0，即A为X=0的解.

则有 A 亦为X=0的解，即=0，

因此rank=rank.

由数学归纳法可得：rank=rank=……= rank

因为k

由引理和定理1.4可得出结论.当一个线性变换的n次幂后，它们的矩阵的秩保持不变，即rank=rank，则有，