基于随机规划的火炮膛内发射性能不确定性优化

徐凤杰,杨国来,王丽群

(南京理工大学 机械工程学院,江苏 南京 210094)

弹丸膛内运动过程是受多种随机因素影响的随机过程[1],随机因素是导致弹丸起始扰动差异与内弹道性能指标差异的根本原因。这些随机因素包括:火炮内膛结构参数、弹丸结构参数以及发射装药参数,任何随机因素的变化都对最终发射结果造成很大影响。因此,有必要进行考虑参数不确定性的火炮内膛发射性能综合优化,获得各关键参数的最佳组合以及参数区间,为火炮与弹药系统的一体化设计提供理论参考。

目前,对弹丸膛内运动过程的研究大多集中在弹-炮耦合发射动力学方面。李振[2]建立了弹-炮耦合发射动力学模型,分析了不同因素对车载炮弹丸起始扰动的影响。陈光宋[3]研究了弹丸膛内运动规律,分析了弹-炮耦合机理,并对关键参数进行识别。现有对弹丸起始扰动问题的研究都是以弹-炮耦合系统为研究对象,将整个弹丸膛内运动过程视为确定性过程,通过对单一因素逐个进行分析,研究不同因素变化对起始扰动的影响,涉及的优化问题也均为忽略参数不确定性而进行的确定性优化。例如,李强等[4]建立了某大口径轻型牵引炮弹-炮耦合有限元模型并利用径向基神经网络近似模型方法对弹丸起始扰动进行优化研究。在火炮发射过程不确定性问题方面,王丽群等[5]针对“弹丸出炮口运动-射击密集度”这一过程,采用随机稳健设计理论对射击密集度进行了随机优化,但是该研究忽略了弹丸膛内运动阶段。对弹丸起始扰动进行确定性优化,得到的设计变量优化结果都是确定性的参数组合,无法适应实际生产中的不确定性问题,缺乏富有建设性的参数区间来指导生产。因此,针对上述问题,本文从弹-炮-药一体化设计的角度出发,综合考虑弹丸起始扰动与内弹道压力等性能指标,研究了火炮膛内发射性能的随机不确定性优化问题。首先采用内弹道模型与弹-炮耦合有限元模型,构建膛内发射动力学模型。然后基于随机规划理论,构建弹丸起始扰动的不确定性优化模型,并结合BP神经网络代理模型技术与多目标遗传算法进行优化求解,确定了各弹、炮、药随机因素的参数区间。

1 膛内发射动力学模型

弹丸膛内运动时期,身管与弹丸以及发射装药燃烧产生的火药燃气三者之间呈现互相作用的关系,因此研究弹丸膛内运动就必须综合考虑弹、炮、药三者之间的耦合关系。为研究弹丸膛内运动时期弹、炮、药三者之间的关系,本文采用有限元方法建立火炮身管、弹丸的有限元模型,对ABAQUS进行二次开发,编写内弹道程序(VUAMP)为弹丸提供弹底压力。

为了简化计算,对弹丸膛内运动过程做如下假设:①忽略弹带挤进过程,认为弹带已经完全挤入膛线;②将弹丸本体视为刚体;③不考虑发射过程中温度的变化。

1.1 有限元模型

身管、弹丸以及弹带均采用八节点六面体单元划分。由于弹丸设为刚体以及身管在发射过程中变形很小,因此这两部分网格尺寸可以适当放大;弹带在弹丸运动过程中与膛线之间具有很强的接触力,因此网格尺寸取较小值。模型如图1所示。

图1 有限元模型

1.2 内弹道模型

为描述弹丸膛内运动过程发射装药变化对弹丸运动的影响,编写内弹道推力子程序(VUAMP),提供弹底压力。内弹道模型选用建立在热力学基础上的混合装药经典内弹道模型,其数学模型为[6]

(1)

已燃相对厚度Zi可以采用四阶龙格库塔法求解微分方程解出,弹丸速度v与行程l可以利用ABAQUS中的传感器直接读取,两者结合可以解出火药燃气压力p。具体执行过程:给定内弹道初始参数,计算初始内弹道压力值,推动弹丸前进,然后将传感器读出的弹丸运动速度与行程作为下一步计算的初始条件,计算出下一步的膛压,如此往复直至弹丸出炮口。膛内发射动力学模型的计算流程如图2所示。

图2 膛内发射动力学模型求解流程

2 火炮膛内发射性能的不确定优化模型

研究不确定性问题一般可分为3类方法:概率模型、模糊模型以及区间模型[7]。本文采用随机优化的方法来进行不确定优化。

2.1 不确定参数及其分布

弹丸膛内运动阶段受到大量不确定因素的影响。本研究中考虑的不确定因素具体包括以下4类,共计15个:①火炮内膛结构参数:阴线宽b、膛线深a、药室容积Vd;②弹丸特征参数:弹丸质量偏心ra、弹带位置lR、弹带宽度bp;③弹-炮耦合参数:弹、炮间隙ed;④发射装药参数:薄火药质量m1、厚火药质量m2、薄火药弧厚δ1、厚火药弧厚δ2、薄火药孔径d1、厚火药孔径d2、薄火药长度l1、厚火药长度l2。

对于一个优化问题,假设各随机因素之间相互独立,且已知它们的分布类型,可以通过调整分布参数(例如均值和标准差)来获得最优解,将其称为随机设计变量,即x=(x1x2…xs)T。概率密度函数可以全面衡量一个随机因素的随机特性,通过特征量(例如正态分布的均值和标准差,均匀分布的区间中值与半径,三参数威布尔分布的位置参数、形状参数和尺度参数),可以具体量化其随机特性,通过随机取样模拟其随机特性。

确定不确定参数的分布规律及其分布参数是随机优化的前提,最准确的确定方式是对这些参数进行大量的实验,分析实验数据得到其统计规律,从而确定其分布规律和分布参数。但是,由于火炮系统过于复杂,难以进行大量的实验,因此根据文献[8]和工程实际,假设这些参数服从正态分布,并以其均值μx和标准差σx作为随机设计变量。

2.2 不确定性目标函数与约束的处理

在考虑随机因素的不确定优化中,目标函数F与约束函数G均为随机函数,需要对其按照一定准则进行处理,常用的准则有概率模型P,均值模型μ,标准差模型σ。

(2)

式中:kp为指标数。显然,P越小,说明输出特性的合格概率越大,即输出特性越稳定。不合格概率的数学含义如图3中阴影部分所示。

图3 不合格概率

均值模型为

(3)

式中:Xk为样本值,T为样本统计量的数目。均值模型体现了系统的目标性能。标准差为

(4)

本文考虑的不确定目标函数主要为弹丸起始扰动,即弹丸出炮口时刻的运动姿态是决定火炮设计精度的重要技战术指标。弹丸起始扰动包括弹丸高低摆动角位移UR2、弹丸水平摆动角位移UR3、弹丸高低摆动角速度ωR2以及弹丸水平摆动角速度ωR3。通过均值μ模型和标准差σ模型对不确定目标函数进行转换。

对于不确定约束函数,从内弹道性能一致性的角度出发,本文选择最大膛压pmax与弹丸炮口初速v波动作为优化准则,设最大膛压目标值pob,j=320 MPa,偏差Δp=10 MPa;设定弹丸炮口初速目标值vob,j=980 m/s,偏差Δv=10 m/s。

对均值、标准差、概率的计算求解均采用蒙特卡洛模拟方法[9],蒙特卡洛模拟是求解的核心。对概率的计算,可以采用数值积分方法求解。根据函数传递理论,对于分布类型都属于正态分布的设计变量,其目标函数与约束函数也应属于正态分布。在采用蒙特卡洛模拟获得性能指标的特征值(均值、标准差)后,可以获得各不确定约束的精确概率密度函数。正态分布的概率密度函数为

(5)

对于本文研究中的性能指标,正态分布概率密度函数无法直接积分,因此在求概率时可以采用高斯积分方法来求解。

(6)

式中:xs为积分点坐标,As为积分系数,nq为积分所用项数。

应当指出,本文性能指标的参数区间并不是[-1,1],因此需要转换积分区间:

(7)

在求解上述目标函数与约束函数的过程中,要用到统计特征值μ与σ,需要大量依靠蒙特卡洛模拟,但是这些性能指标来自于膛内发射动力学模型,每计算一次都需要耗费大量的计算时间,进行大量的随机抽样,这将带来海量的计算任务,工程上难以实现。因此,本文选用搭建代理模型的方法来简化计算过程以提高计算效率。

2.3 BP神经网络代理模型

常见的构造代理模型的方法有:响应面法、径向基函数法以及神经网络法。其中神经网络具备很强的非线性映射能力,一个3层的BP神经网络能够拟合任意复杂的非线性函数。BP神经网络建模过程如图4所示。

图4 BP神经网络建模过程

首先,运用最优拉丁超立方试验设计方法,在随机设计变量空间中安排80组试验样本,随机设计变量取值范围如表1所示。将这80组试验样本带入膛内发射动力学模型中进行计算,并将得到的最大膛压pmax、弹丸初速v以及弹丸起始扰动作为神经网络的输出。然后,以试验设计样本作为输入,在Matlab软件中利用神经网络工具箱建立一个3层BP神经网络。

表1 随机设计变量及取值范围

为验证神经网络的准确性,在设计空间内按照最优拉丁超立方试验设计安排20组验证样本,并带入膛内发射动力学模型进行计算,得到一组输入、输出关系,以此计算确定性系数R2,验证BP神经网络的准确度。

(8)

表2 神经网络精度检验

在获得BP神经网络代理模型以后,对BP神经网络进行1 000次随机模拟,对最大膛压pmax、弹丸初速v以及弹丸起始扰动进行统计分析,得出其μ与σ,并用于后续优化计算。

3 基于NSGA-Ⅱ的不确定优化

随机不确定优化的求解涉及多个设计变量,是一个典型的多目标优化问题,遗传算法是最常用的多目标优化算法。带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)是多目标优化算法中应用最为广泛的[10-11],所以本文以此对不确定模型进行优化求解,寻求不确定优化准则下设计变量的最优解,确定设计变量的最佳区间。

3.1 优化数学模型

进行不确定优化设计需要对设计变量的均值μ与标准差σ进行优化,以此来确定设计变量的最优取值区间。

本文采用的弹丸起始扰动有4个分量,分别是弹丸高低摆动角速度ωR2、水平摆动角速度ωR3、高低摆动角位移UR2与水平摆动角位移UR3,在建立优化目标函数时应当包含4个指标。优化目标函数为

(9)

以最大膛压pmax与弹丸初速v的不合格概率P为约束条件,以弹丸起始扰动为优化目标,建立如下优化数学模型:

(10)

3.2 优化结果与分析

通过上述优化算法进行优化,求得随机设计变量的Pareto前沿,如图5所示。

图5 不确定优化Pareto前沿

从Pareto前沿中可见,经过多目标遗传算法共寻找出满足不确定约束准则下的最优解共计15个,这些设计点都得到了不同程度的优化。Pareto前沿左侧弹丸起始扰动的均值μ非常小,说明弹丸扰动值更小;Pareto前沿右侧弹丸起始扰动的标准差σ非常小,说明扰动值更为稳定。为兼顾均值与标准差,选择图5中的设计点A作为最终的优化结果,既可以实现较小的扰动,又可以满足扰动较小的波动性。以弹丸高低摆动角速度为例,优化结果见图6。

图6 弹丸高低摆动角速度优化结果对比

经过随机不确定优化,兼顾最大膛压与弹丸初速不合格概率2个优化准则,得到弹丸起始扰动的不确定优化解,由随机设计变量的均值与标准差确定最终的设计变量参数区间,圆整后的结果如表3所示。

表3 设计变量参数区间优化结果

4 结论

本文采用随机不确定优化理论,研究了弹丸起始扰动和最大膛压等膛内发射性能的不确定性优化问题。最终获得了各弹、炮、药随机参数的合理参数区间,初步证明了随机不确定理论在弹丸起始扰动等火炮膛内发射性能优化方面的可行性与有效性。该方法可以为火炮与弹药系统的一体化设计以及参数误差方案的制定提供理论参考。