带有变号对数非线性项的p-Laplacian方程解的多重性

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(太原理工大学数学学院， 山西太原030024)

p-Laplacian方程是研究气体通过一维多孔介质以及非牛顿流体时建立的，因此，对于p-Laplacian方程的研究不仅在非牛顿流体理论等实际问题中应用广泛，而且对偏微分方程的理论研究也具有很重要的意义[1-5]。文献[6]中证明了当函数f满足一定条件时，p-Laplacian方程

至少有一个非平凡解，其中Ω为n上的光滑有界开区域，∂Ω为Ω的边界，u为关于x的函数，Δp为p-Laplacian算子，p>1。近几年，p-Laplacian方程

正解的存在性和多重性已用变分法、拓扑度理论以及其他方法进行了大量研究[7-11]，其中λ为常数。文献[7-8]中研究高维有界区域的情况，文献[9-10]中考虑球上的径向对称解，文献[11]中证明了当常数λ非负，f连续时，存在2个正解。

近年来，带有对数非线性项的偏微分方程的研究得到了许多学者的关注[12-13]。例如，文献[14]中应用Nehari流形方法研究了带有变号对数非线性项的半线性椭圆型方程的多解性问题，找到2个非平凡解。

本文中利用Nehari流形和对数Sobolev不等式对一类带有变号对数非线性项的p-Laplacian方程的多解性进行研究；介绍对数Sobolev不等式及证明该p-Laplacian方程解的多重性用到的一些估计，并利用Nehari流形的2个子流形证明该p-Laplacian方程解的多重性。

1 主要结果

本文中研究一类带有变号对数非线性项的p-Laplacian方程

(1)

(2)

则方程(1)至少有2个非平凡解，其中Ωn是Ω在n中的测度，L由式(3)给出。

2 预备知识

其中

(3)

(4)

对任意的μ> 0成立。

因此，问题(1)的解等价于泛函J的临界点。

以下设函数f、g满足条件(2)。

J(u)≥

(5)

(6)

其中

直接计算得

(7)

又由对数Sobolev不等式(4)、(7)可得

(8)

结合式(5)—(8)有

引理2得证。

3 解的多重性

上有下界，因此J的非平凡临界点全部在N中，并且J的临界点为N中的局部极小元。显然，u∈N等价于

(9)

则

(10)

证明:由式(9)可知，

若u∈N，则

由此把N分成N+、N-、N03个部分，其中

引理3得证。

引理4 若u是J在N上的一个局部极小元且u∉N0，则J′(u)=0。

证明:若u为J在N上的一个局部极小元，则存在λ∈使得J′(u)=λφ′(u)，其中

由u∈N知，0=〈J′(u),u〉=λ〈φ′(u),u〉。又由u∉N0可得

由此λ=0，进而J′(u)=0。

引理4得证。

引理5N+、N-非空。

证明:由式(10)，Φu有唯一驻点

从而t(u1)u1∈N+,t(u2)u2∈N-,因此N+、N-非空。

引理5得证。

引理6N+有界。

因为un∈N+，所以

又由un∈N和式(9)可知，

(11)

直接计算得

(13)

(14)

J(v0)≥

另一方面，由vn⇀v0但是vn→ /v0可知，存在{vn}的子列，仍记作{vn}，使得

(15)

(16)

(17)

(18)

成立，结合式(12)、(14)有

(19)

矛盾。

另一方面，由vn→v0知，存在{vn}的子列，仍记作{vn}，使得式(17)—(19)和

(20)

成立。结合式(12)、(14)有

(21)

矛盾，因此N+有界。

引理6得证。

引理7 1)J在N+上有下界；2)J在N+上有一个极小元。

证明:1)若u∈N+，则由式(9)可得

由引理6，N+有界，因此J在N+上有下界。

2)设{un}是J在N+上的一个极小化序列，即

由un∈N+，可得式(11)和

因此

则存在t(u0)>1使得t(u0)u0∈N+，并且Φu0(t)在t(u0)处取得极小值，从而有

即u0是J在N+上的一个极小元。

引理7得证。

引理8J在N-上的每一个极小化序列有界。

证明: 设{un}是J在N-上的一个极小化序列， 即

与引理6中不同的是，在式(19)、(21)中

引理8得证。

引理9得证。

成立。又Φun(t)在t= 1处达到极大值，则

从而有

引理10得证。

定理1得证。

4 结论

本文中研究了一类带有变号对数非线性项的p-Laplacian型方程解的多重性问题。 给出了对数Sobolev不等式以及证明该p-Laplacian型方程解的多重性需要的估计； 将Nehari流形进行分解， 利用变分方法在子流形N+、N-上各找到一个非零极小元。