旋转圆筒受均布压力的应力解分析

郭海伟，陈占清

(中国矿业大学深部岩土国家重点实验室，江苏 徐州 221116)

王一麦，邵海磊

(郑州四维特种材料有限责任公司，河南 郑州 450001)

旋转圆筒结构件被广泛应用于医药、化工、水利水电、国防等工程领域[1,2]，其筒壁多承受内、外压力及自身转动所附加的离心力效果，尤其在高转速过程下，圆筒结构件所产生的离心力会引起较大的径向应力与环向应力。应力的大小、分布以及圆筒的结构，将影响圆筒旋转过程中的强度和使用寿命，因此，研究与分析这种结构的应力变化情况，对保证其强度和使用寿命及优化设计模型有着重要的意义。

关于圆筒轴对称载荷分布模型的应力研究，最早是Lame针对平面问题，运用弹性力学理论，提出了内外均布压力作用下的二维理论解，其结果表明，环向与径向应力沿筒轴向发生均匀的伸长或收缩，即垂直于筒轴的截面保持为平面[3～5]；1927年伽辽金应用Lame解推导了圆形隧道在均布内压作用下衬砌应力的计算公式[6,7]；1992年刘东常等以Lame解为基础，运用叠加方法，求解了环在弯曲应力和径向力作用下的应力[8]。然而，平面问题的理论解并不能很好地表述三维模型的应力分布情况，如Z轴方向的应力分布情况,因此，出现了针对圆筒结构的空间问题的研究。罗祖道在1979 年建立了单层有限长空心圆柱体在空间轴对称荷载作用下的变形分析方法[9]；林小松等1990年利用幂级数以及分离变量的方法得到了柱面在线性变化压力作用下厚壁筒的解析解[10];1997～1999年他又将康托洛维奇变分法和高级康托洛维奇变分法用于空间轴对称应力问题，导出了荷载为变量z的任意函数时的有限长厚壁圆筒三维轴对称问题的康氏变分计算公式[11]；侯宇等在1991年利用H变换和Stocke变换求得弹性力学中有限长圆柱体的轴对称问题的一般解析解[12]。然而，有关转动圆筒模型在内外压力作用下的三维强度计算问题，尚未得到理论的解析解。为此，笔者在柱坐标下建立了圆筒三维模型，依据弹性力学的三维微分方程，运用叠加原理，推导了内外均压作用的转动圆筒三维模型的空间三维应力解析解。

1 圆筒三维模型的应力解

设筒壁受内压p1、外压p2作用，并以角速度ω绕Z轴转动(Z轴表示圆筒的中心轴向位置)，在柱坐标系下建立圆筒的力学模型，如图1所示。其中，材料的密度为ρ，泊松比为μ，a为圆筒的内半径，b是圆筒的外半径。

基于小变形理论，采用通解加特解的方法给出应力分量表达式，并依据边界条件求解待定未知量。假设试探应力函数[13]为：

φ(r,z)=A1(8z5-15zr4)+A2(8z5-40z3r2+15zr4)+A3(8z4-3r4)

+A4(2z4-3r2z2)+A5zlnr+A6z3+A7r2z+A8zr2lnr

+A9z3lnr+A10r2lnr+A11z2lnr

(1)

式中:φ(r,z)表示试探应力函数；A1～A11为待定系数；r为圆筒上任一点到z轴的垂直距离，r∈a,b。

试探应力函数满足双调和方程[14]，即：

(2)

将式(1)代入应力分量公式：

(3)

可得柱坐标系下圆筒三维模型的应力分量通解表达式：

+2(2μ-1)A7+2(2μ-1)lnr+(4μ-3)A8+6μlnrA9

(4)

+2 2μ-1A7+2 2μ-1lnr+ 4μ-1A8+6μlnrA9

(5)

σz= 3 160 1-μA1-160A2z2+-240 2-μA1+240A2r2

+192 1-μA3-24μA4z+6 1-μA6+4 2-μA7

+4 2-μlnr+1A8+6 1-μlnrA9

(6)

τrz= 2-240 1-μA1+240A2zr+-96 1-μA3+12μA4r

(7)

假设其特解形式为：

(8)

且满足离心作用下平衡微分方程和相容方程，由小变形下应力的叠加性。上述问题的空间三维应力解析解可表示为：

+2 2μ-1A7+2 2μ-1lnr+ 4μ-3A8

(9)

(10)

σz= 3 160 1-μA1-160A2z2+-240 2-μA1+240A2r2

+192 1-μA3-24μA4z+6 1-μA6+4 2-μA7

(11)

τrz= 2-240 1-μA1+240A2zr+-96 1-μA3+12μA4r

(12)

式(9)～(12)须满足下述边界条件：

把边界条件代入式(9)～(12)，可求待定系数，从而可获得旋转圆筒在均布内外压力作用下的空间三维应力分量解析式：

(13)

2 应力分析

由式(13)可以看出，其径向应力与环向应力是由圆筒中心线绕Z轴纯转动的应力分量与Lame应力分量解的线性叠加。对比上述问题的平面二维应力分量解：

(14)

二者具有一定的一致性。

对于径向应力，三维与二维的误差为：

15)

(16)

从而可看出，在材料一定的情况下，最大误差随角速度的增大而增大，因此，在高转速过程中，使用平面二维应力解表示径向应力应予以谨慎。

对于环向应力，三维与二维的误差：

(17)

且为单调减函数，在r=a时有最大环向应力误差：

(18)

再次说明最大误差随角速度的增加而呈平方增加，平面二维应力解在工程应用中须谨慎。

3 算例分析

GQ142G高速管式分离机是一种广泛应用于生物制品、化工、制药、饮料等行业的分离机械。以其转鼓为研究对象，其主要的技术参数如表1所示。

径向与环向的平面二维应力和空间三维应力分布如图2和图3所示。计算可知，径向误差最大值为4.64%，环向误差最大值为1.09%，二者的应力曲线分布具有一定的一致性。

表1 GQ142G高速管式分离机转鼓主要技术参数

图2 平面二维与空间三维径向应力分布 图3 平面二维与空间三维环向应力分布

利用材料力学第四强度理论：

(19)

计算得出平面与空间应力解的最大相对误差为0.85%，其应力曲线分布如图4所示。在r=a=0.06m处，有最大的应力值。当内径a=0.06m固定时，最大应力值随着外径b的变化而变化，如图5所示。从图5中可以看出，曲线存在一个外径b0，使得圆筒的应力最小，即当内径一定时，存在一个最优的壁厚，使得圆筒应力最小。该结果可以为旋转圆筒壁厚的优化设计提供一定的理论依据。

图4 第四强度理论空间三维应力与二维应力解的比较 图5 最大应力随外径变化的分布

4 结论

1)旋转圆筒在内外均布压力作用下的环向与径向应力解析式可看成是由纯转动效果所得应力叠加纯压力作用的应力(Lame应力分量表达式)，从形式上可以看出，其空间三维应力分量解与平面二维应力分量解具有一定的一致性。

2)经应力分量的误差分析可知，其环向与径向应力的最大误差只与材料的属性及转速有关。即当材料一定时，其误差的变化与转速的平方成正比，在高转速情况下，平面二维应力分量的应用须校对误差。

3)以工程用GQ142G高速管式离心机转鼓的实际数据为例，不考虑标准化问题，基于误差分析方法，对空间三维应力解析解与平面二维应力解进行了比较，同时也给出了其转鼓厚度设计优化的理论依据。