“反思”“联通”视角下的习题讲评策略

何利明

【摘   要】小学数学习题讲评过程中普遍存在“缺少有效策略，重视知识技能而忽视过程与方法，重视知识习得而轻视学生主观能动”等问题。要改变这一现状，教师应在讲评课前重反思，课中重联通，课后重整理，并通过互教、串联、比较、分解、拓展等五大讲评策略，实现学生在自我认知的基础上，达到由模糊走向通透，由一道题迈向一类题，从知识技能转向思维发展的良好效果。

【关键词】小学数学;习题讲评;策略

习题讲评不仅能纠正学生知识与技能上的问题，进行方法指导，更是提高师生的自我认知的一个过程。笔者对一些师生进行访谈发现，几乎没有教师对习题讲评有书面备课，大多数教师以备“心案”为主;习题讲评的方式大多是就题论题;对习题讲评的策略没有做过系统的研究。同时，基础好的学生并不喜欢上习题讲评课，感到习题讲评很枯燥。

要发挥好习题讲评课的作用，教师应重视课前重反思、课中重联通，课后重整理三个环节，尤其课中的讲评中，应牢固确立生本理念，因材施教，有效融通，使讲评课产生“溢出”效应，提升学生解决问题的能力。

实践证明，建立在自我反思基础上的习题讲评，能起到事半功倍的效果。当然，有些习题经过学生的自我反思，已经解决问题，但也有些习题学生尽管已经改正了，但并没有将知识连成一片，知识之间还是零散的，没有形成系统。因此，在习题讲评中，教师的主要作用就是“联通”，即将零散的知识，通过讲评串联起来，具体可采用以下策略。

一、互教法：将被动学变成主动学

美国学者、著名的学习专家爱德加·戴尔提出著名的“学习金字塔”理论，阐述了采用不同的学习方式所产生的学习效果是不同的。在塔尖，第一种学习方式——“听讲”，也就是教师在上面说，学生在下面听，这种我们最熟悉最常用的方式，学习效果却是最低的，两周以后学习的内容只能留下5%。而这种学习方式也是我们教师平常在习题讲评中运用最为广泛的一种方式。“阅读”“声音、图片”“示范”等学习方式所产生的效果逐步提高，属于被动学习，而主动学习的方式，如“小组讨论”“做中学”“实际演练”“教别人”“马上应用”等，可达到比较高的学习效果。我们习题讲评的过程中，应当充分运用团队学习、主动学习和参与式学习，使效果最大化。

比如在每次的习题讲评中，我们都应该给学生留出一定的时间与空间，组织学生进行小组合作，同伴互教互学，从而高效地解决问题。

以下是一次习题讲评课的一个教学片断，不仅“会”的同学努力地去教会“有困难”的同学，更是让做错的同学来汇报。在这个过程中，已经“会”的同学在“教”同伴的过程中为了教会同学，会不断调整自己的讲解方式，使被“教”的同学在理解上也达到了“通透”。

五年级题：在ax+b-10=40，ax+b+c=50+c，ax+b×2=100，ax=50-b这些方程中，与ax+b=50的解不相同的方程是（      ）。

以下是两个学生的对话（会的学生为生1，不会的学生为生2）：

生1：就是解方程啦！

生2：没看出来。

生1：把每个方程变一变，变得跟ax+b=50一样，你会不会？

生2：我不会。

生1：在这个方程（指着ax+b-10=40）的左右两边同时加上10，左边剩下ax+b，右边变成50，不就是跟这个方程（指着ax+b=50）一样了吗？

生2：哦，我明白了。那为什么答案是ax+b×2=100？它同时除以2不就变成ax+b=50了。

生1：ax也要除以2的呀，這是分配律！

生2：哦……

生1：这道题就是用等式的性质来做的。

从两个学生的对话中我们可以发现，“会”的学生在“教”同学的过程中他本身也在经历一个思考的过程，从一开始的“就是解方程呀”到“就是变一变”，一直到最后的“用等式的性质来做”，这个过程就是他自己对此题的再认知的过程。

二、比较法：将模糊题变成通透题

比较法是将两个（或几个）相同知识或不同知识放在一起，通过观察、类比，掌握知识间的联系与区别。其目的主要在于比较新对象与认知结构中类似的对象，从而增强新旧知识间的可辨别性，是一个充分显示事物的矛盾、突出被比较事物本质特征的过程。

比较法在习题讲评中的运用，有利于培养学生独立思考的学习能力，有利于培养学生触类旁通的推理能力，有利于培养学生从众多的乱象中找出本质特征的分析能力，有助于让学生对数学知识的理解从模糊走向清晰，进而达到融会贯通。比较法主要有以下几个形式。

（一）相同题型相比较

五年级题：师徒两人合做一批零件，完工时师傅完成这批零件的[58]，师傅比徒弟多做[（    ）（     ）]。

学生的主要错误是[58-38=28=14]，没有找准单位“1”，将“这批零件”作为单位“1”了。如果呈现以下习题，让学生产生强烈的对比：

师徒两人合做一批零件，完工时师傅完成这批零件的[58]，师傅比徒弟多做这批零件的[（    ）（     ）]。

师：你发现了什么？

生：第一题是师傅与徒弟的差跟徒弟比，而第二题是师傅与徒弟的差跟整批零件比。

生：单位“1”不同。

生：哦，我明白我错在哪里了？

在这道习题讲评的过程中，创设同样求“分率”而单位“1”不同的情境，通过对比让学生主动去发现自己的问题，问题得到解决。正如苏联著名教育家乌申斯基所说的那样：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。如果我们面前出现某种新东西，而我们既不能拿它去与其他什么东西比较，又不能把它同什么东西区别开来，……那么，我们就不能对它形成一种思想，也不能对它说出一句话来。”

（二）不同解答相比较

有些习题，教师并不需要讲解，只需要将几种不同的答案与解题过程放在一起，学生便会发现自己的问题。

六年级题：将一根长80厘米的绳子围成长方形，其中宽是长的[35]，那么它的面积是多少平方厘米？

学生的错点是没有将80÷2，为此，这时呈现两种不同的解答，通过比较，学生很快发现自己存在的问题。教师的角色不再是主讲人，而是一个引导者。

[80÷（3+5）×3=30厘米

80÷（3+5）×5=50厘米

50×30=1500平方厘米] [80÷2÷（3+5）×5=25厘米

80÷2÷（3+5）×3=15厘米

25×15=375平方厘米]

师：你有什么发现？

生：80厘米不是长与宽的和。

生：要先除以2才是长与宽的和。

师：类似这样的错误你有过吗？

生：在学习长方体时，棱长总和是要先除以4才是长宽高的和。

……

三、串联法：将一类题变成一道题

一份练习或一张试卷有很多习题，我们是选择逐道讲评，还是将一些相同知识或者相同解决问题方法的习题串联起来，将一类题变成一道题？毫无疑问，我们需要关注知识间的关联，将它们串联起来，形成系统。

比如，六年级上册，学习了“分数乘除法”后的一份综合练习中有这样一些练习：

看似不同的五道题，在习题讲评的过程中，带领学生仔细分析其基本的数量关系，我们就能发现它们存在十分紧密的关联。

师：解决分数应用题的关键是什么？

生：分析数量关系。

师：这第7题的数量关系是什么？

生：去年毕业人数×（1+[25]）=今年毕业人数;去年毕业人数×[25]=今年比去年多的人数。

师：如果今年毕业1400人，可以求什么？怎么算？已知今年毕业1400人，又可以求什么？怎么算？

生：（略）

师：后面的第26、27、31题是否也有类似的数量关系？请你找一找，写一写。

学生思考后，得到的数量关系分别是：上衣价格×（1+[23]）=300元;语文成绩×（1+[110]）=数学成绩;邮票原价×（1[±15]）=现价。引导学生发现这几道题有相似的数量关系，区别在于找到单位“1”的难度不同。通过这样的讲评方式，是将多道习题变成一道题，实现“习题串联，打通关系”的目的，产生“万”题归一的效果。

四、分解法：将综合题变成单一题

习题的难度将影响学生答题的正确率，学生的有些错误原因是缺失综合分析习题的能力，因此教师应当帮助学生分析、分解习题，从学生的认知起点上，形成综合分析问题的能力。

五年级题：请在右图中用阴影表示出[45]吨。

学生的错误率达到41.2%，主要有以下两种：

鲍建生教授提出课程总体难度（Overall difficulty）的概念，认为影响数学课程综合难度的因素有探究、背景、知识含量、推理和运算等，并建立了数学习题综合难度模型。据此分析学生的错误原因，我们可以发现这道习题的知识含量有2个（分数意义、分数乘法），属于理解与应用两个水平，如果引导学生将这2个知识点进行分解，就能帮助学生顺利解决问题。

在长方形中画出[25]吨，可以怎样画？

根据分数的意义，[25]吨可以表示为求1吨的[25]是多少（下左图）。还可以表示为求2吨的[15]是多少（下中图）。那么我们就可以画出以下两种：

在此基础上，教师追问：那么求[45]吨呢？通过分解、分析、观察，学生就明白了，求[45]吨就是求[25]吨的2倍（上右图）。

五、拓展法：将一道题变成一类题

美国心理学家斯金纳提出的强化理论认为，行为之所以发生变化，是由于强化作用的结果，人的学习是否成立关键在于强化。强化刺激有助于习题的巩固，据此，在习题讲评中进行一定的相关练习，强化正确的思路和方法，促进学生对错误方法或错误思路的深入反思，达到对数学知识的本质理解，达到巩固与强化的目的。

在讲评习题时，对相同知识点、相同解决方法的习题进行适当的延伸与补充，形成一个知识体系，或者将这些零散的知识理成一条线，将有利于学生的理解与掌握，使习题讲评更为有效。

（一）相同知识点的拓展

拓展题（五年级）：填空1，4，9，16，25，36，49，（    ）……（     ）（第100个数）

第一空的正确率很高，学生的主要思路是：

相比而言，第二空的正确率就相当的低，如果运用第一种思路，就要写到第100个数才能找到答案。显然这种思路解决不了问题。于是教师将这道题进行拓展：

一拓：化数为形，找规律。

先观察再填空：

师：你发现了什么？

生：是从1开始相加的奇数。

生：我发现了有几个数就是几的平方，这里有5個数字，结果就是5 的平方。

师：那么1+3+5+7+9+…+99=（   ）=（   ）？

生：1至100有100个数，奇数就有50个，所以是502=2500

师：那么跟前面的习题比较，你发现了什么？

生：原来两道题是一样的，结果都是个数的平方。

师：如果求第n个数呢？

生：n2。

……

再拓：化行为塔，藏末尾。

位于埃及尼罗河下游的金字塔，是一种方锥形建筑物。十分有趣的是，自然数1，2，3，4……也可以写成下面金字塔形式。

（1）第100层的第1个数是（ ），最后一个数是（ ）。

（2）第n层的第1个数是（ ），最后一个数是（ ）。

三拓：化列为式，放首位。

师：你又发现了什么？

那么，第100行第1个数是（     ），最后一个数是（     ）。

四拓：化式为塔，隐中间。

师：你又能找到什么规律吗？

那么第100行第1个数是（     ），最后一个数是（     ）。

由一道习题化出不同的四道题，使学生在不同的问题情境中领略到蕴含其中的规律：一个数的平方数。只是这个规律可以以数列的形式呈现、图形的方式呈现、数塔的方式呈现。可以将它藏在数塔的首位、末尾，还可以隐藏在数塔的第4个数中，通过各种形式，提升学生的思维能力。

（二）相同方法的拓展

六年级题：水井与王奶奶家相距900米，三个少先队员轮流抬一桶水送给王奶奶，平均每人抬（        ）米。

学生的错误率达到80.5%，究其原因主要是对于轮流抬水的方式不是很理解。有两种不同的解题方法：第一种是抬水有2个位置，每个位置要抬水900米，要分给3个人，那么平均每个人抬水900×2÷3米;第二种是用分数的方法，也就是每个人抬水距离的是全长的[23]，即900×[23]米。为了让学生能充分理解并巩固这种方法，我们可以对这类题型进行两个方面的拓展。

第一层次的拓展：变更数量。

当师生一起得到数量关系：全长×[23]=平均每人抬的路程，之后我们可以变更全长为600米、1200米求平均每人抬水多少米等，也可以变更条件之间的转换，已知平均每人抬水600米，求全长是多少米等。

第二层次的拓展：变更情境。

在不同的情境中它们解题的策略都是相同的，乒乓球单打中平均每人打的是总时间的[23]，平均每位战士站岗的时间是总时间的[29]，平均每个轮胎行驶的路程是全部路程的[45]。

“相同知识点的延伸拓展”和“相同方法的延伸拓展”的习题讲评，让学生在变式中思考，通过一道题上升到对这一类题的解决，使学生的思维得到深化。

在习题讲评之后还是需要进行一项重要的工作——错题整理。其实质是学生自我反思的过程，一种升华的过程。一般来说，错题整理需要做三件事：抄写题目、写出错因、分析解答。教师要引导学生将自己的问题剖析到位，把正确的解题思路与方法叙述清楚。经过这样的整理，学生可以加深对知识的理解、技能的掌握，还可以有方法的习得、学习经验的积累，可以体现出学生的学习态度和情感。

综上所述，课前的反思，是自我认知与反思的过程;课中的讲评，是认知矫正与知识联通的过程;课后的整理，是学习结果的总结与升华的过程。唯有如此，才是真学习！

参考文献：

[1]鲍建生.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2014.

[2]胡航.小学高年级学生数学错题管理策略的干预研究[D].陕西师范大学，2016.

[3]M.P.德里斯科爾.学习心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2013.

（浙江省杭州市富阳区永兴小学   311400）