等价变换原则在全等三角形证明中的应用

欧阳雪泳 杨灵娥

【摘要】 全等三角形是研究图形的重要工具，在初中数学几何图形中占有非常重要的地位，是初中生学好数学的基础.等价变换原则是一种常见且重要的解决数学问题的原则.本文首先对等价变换原则进行说明介绍，然后分类探讨等价变换原则在全等三角形证明中的应用，希望能对数学学习与教学方面有一定的借鉴意义.

【关键词】 全等三角形证明;等价变换原则;等价变换原则的应用

全等三角形是研究图形的重要工具，在初中数学几何图形中占有非常重要的地位，是初中生学好数学的基础.等价变换原则是一种常见且重要的解决数学问题的原则.等价变换原则，简言之，就是在同一个系统中，保持问题的量或性质不变的前提下，改变问题的形式与条件，一步步地排除无关因素，简化问题，从而转化为一个比较容易解决的等价问题，以便更好地指导解决数学问题.熟练掌握等价变换原则的应用将有助于培养学生简化问题的能力，使解题思路清晰化、明了化，也更好地提高学生数学解题的思维能力，促进学生系统严谨的逻辑推理能力的形成与发展.进一步地，如果说“数学地看待世界、解决问题”可被看成“数学素养”的显性表现，那么我们应当通过数学教学帮助学生学会如何把日常生活中遇到需要解决的繁杂问题进行合理科学地简单化、清晰化，也即能够逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理[5].再者，对相关文献资料的分析和研究得出，目前关于全等三角形证明方面的介绍主要有以下三个方面：介绍运用全等三角形的性质定理的解题策略[3，4，6，7];介绍等量代换的解题方法[8];归纳总结证明三角形全等的题型，并分别从公共边、角等类型进行了一般解题方法的介绍[2].以上并没有具体深入地介绍相关的数学思想以及应用原则的指导，所以本文从掌握等价变换的数学思想的角度入手，分类探讨等价变换原则在全等三角形证明中的应用.

一、等价变换原则的概念和意义

（一）等价变换

等价变换，是在同一个系统中，保持问题的量或性质不变的前提下，改变问题的形式与条件，通过一步步地排除无关因素，简化问题，直至变换成某种可以获解的标准形式或得出所要的结果，从而转化为一个比较容易解决的等价问题[1].

（二）等价变换原则

运用等价变换的思想去指导解决数学问题的原则，称为等价变换原则.在数学解题过程中，常常需要通过寻找等价的辅助问题来解题，例如，我们需要解决问题A，可能要直接求出它的解答比较困难，我们可以寻找与A等价的另一问题B.考虑B时，我们又可能联系与B等价的第三个问题C，如此下去，利用等价变换来改变问题的形式与条件，直到最后得到问题L，其解答为已知或明显可知的[1].这些等价的问题，往往只是所用的对象不同，而这些对象间存在着某对应关系，使得一切关系和所有运算实际相仿的.

（三）应用等价变换原则的意义

在等价变换原则的指导下解题，有助于向学生提供另一个角度的解题策略，帮助学生把繁复的待解决问题转化为较为简明、易于解决或已解决的等价问题，使待解决的问题得到简化，使解题思路清晰化、明了化;同时通过培养学生的逆向思维的能力，有助于提高和发展学生的数学解题的思维能力，从而促进学生系统严谨的逻辑推理能力的形成与发展.

二、例题与思路分析

掌握全等三角形知识在初中数学学习中十分重要，它可以使学生掌握一些基本的推理技能，建立空间观念，并且促使学生多角度思考问题，充分挖掘与提升学生的几何素养和数学思维能力.

全等三角形的證明贯穿于本文例题的解决过程中，以三角形的基本元素来区分，分别以三边之间的关系和三角之间的关系来进行分类讨论，旨在为理解、掌握如何有效应用等价变换原则解决全等三角形的证明等题型提供思路和方法上的引导.

（一）三边之间的关系

1.证明线段平行

证明线段平行，需要结合已知条件和平行线的判定定理进行分析，利用性质定理改述原问题[1]，从而改变问题的形式与条件，转化为易求证的等价的辅助问题，以达到简化问题的目的.

例1   如图1所示，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：DC∥AB.

分析  要证DC∥AB，需要利用平行线的判定定理，结合已知图形，判断出可以利用平行线的判定定理中的“内错角相等，两直线平行”;要证内错角相等，观察图形可知内错角在两个三角形中，而且根据题目条件OA=OC，OB=OD和图形中隐含的对顶角相等，这时我们把问题转化为易求证的△ODC≌△OBA的等价问题.

证明  在△ODC和△OBA中，

∵OC=OA，∠DOC=∠BOA，OD=OB，

∴△ODC≌△OBA（SAS），

∴∠CDO=∠ABO（或∠DCO=∠BAO），

∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行.）

2.证明线段相等

分析已知条件，如果待求证线段分别位于两个三角形中，而且题目提供的条件有利于全等三角形的证明，那么我们可以利用逻辑关系改述原问题[1]，把问题转化为易于解决的证明线段所在的两个三角形全等的等价问题，使解题思路清晰化、明了化.

例2   如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.试证明AE=EF.

分析  观察图形可知，AE和EF分别在Rt△ABE和△ECF中，要证明线段相等，可以通过证明线段所在的三角形全等，显然Rt△ABE和△ECF不全等.考虑到点E是边BC的中点，因此，可以选取AB的中点M，连接EM后，尝试去证明△AEM≌△EFC.

证明  如图3所示，取AB的中点M，连接EM.

∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°.

又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC.

∵点E、M分别为正方形的边BC和AB的中点，

∴AM=EC，BE=BM.

从而可知△BME是等腰直角三角形，∠BME=45°，

∴∠AME=135°.

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°，

∴△AEM≌△EFC（角边角），∴AE=EF.

说明：要证明线段AE=EF，把问题转化为等价的证明线段所在的两个三角形全等的问题;在繁复的三角形全等证明的过程中，把问题继续转化为等价的对应角相等，对应边相等的问题.在证明对应角相等的问题时，涉及先证两个角和另外一个角的和相等，从而得出这两个角相等的较简明的等价问题.

3.证明线段的和差关系

在三角形中，借助“截长”或“补短”的等价变换都可实现原问题向更容易解决的等价问题的转化.

截长法：在长线段中截取一段等于另外两条中的一条，然后证明剩下部分等于另外一条;补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另外一条短线段，然后证明延长后的新线段等于长线段.

例3   如图4所示，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.求证：AB=AC+CD.

分析  从结论分析，“截长”或“补短”都可实现原问题向更容易解决的等价问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.在这里只说明补短法的证明.

证明  如图5所示，延长AC到E，使CE=CD，则∠CDE=∠CED.∴∠ACB=2∠E.

∵∠ACB=2∠B，所以∠B=∠E.

在△ABD与△AED中，∠1=∠2，∠B=∠E，AD=AD，

∴△ABD≌△AED，AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD.

说明：这两种方法都是遵循了等价变换原则：把要解决的问题等价转化为易解决的问题.在补短法中，具体体现在把要证的AB=AC+CD等价变换为求证△ABD≌△AED;在截长法中，具体体现在把要证的AB=AC+CD等价变换为求证△AFD≌△ACD，FD=FB.

（二）三角之间的关系

1.证明两角相等

对已知条件进行分析后，得出待求证的两角分别位于兩个三角形中，可以通过把问题转化为易求证的等价的辅助问题——证明两个三角形全等，以求出对应的两角相等，使解题思路清晰化、更具有方向性.

例4   如图6所示，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.

证明  ∵AB平分∠CAD，

∴∠CAB=∠BAD.

在△ACB和△ADB中，AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB，

∴△ACB≌△ADB（SAS），∴∠C=∠D.

2.角的和差关系

分析已知条件，利用逻辑关系改述原问题，把待求证的角等价变换为已知的或易求得的角，使得问题得到等价的简化.一环接一环的，通过不停地寻找并解决等价辅助问题，从而逐步地解决原问题.在此过程中，要关注新问题与原问题间的等价性[1].

例5   如图7所示，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证∠A+∠C=180°.

 分析  在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，要证∠A+∠C=180°，条件不足，如果不作任何辅助线构造新的图形，本题是很难解答出来的.那么，我们应该如何构造新的图形，把问题转化为更容易解决的等价的问题呢？已知条件都分布在两个三角形中，所以需要作辅助线构造全等三角形.

证明  如图8所示，在BC上截取BE，使BE=AB，连接DE.

∵BD是∠ABC的角平分线（已知），

∴∠1=∠2（角平分线定义）.

在△ABD和△EBD中，

∵AB=EB（已知），∠1=∠2（已证），BD=BD（公共边），

∴△ABD≌△EBD，

∴∠A=∠3（全等三角形的对应角相等），

AD=ED（全等三角形的对应边相等）.

∵AD=CD（已知），AD=ED（已证），

∴ED=CD（等量代换），∴∠4=∠C（等边对等角）.

∵∠3+∠4=180°（平角定义），∠A=∠3（已证），

∴∠A+∠C=180°（等量代换）.

说明：以上的证明过程中，由已知条件得出∠1=∠2，AD=CD，在BC上截取BE，使BE=AB，作辅助线DE.要证∠A+∠C=180°，需要寻找等价的辅助问题——先证∠A=∠3，以及∠4=∠C.要证∠A=∠3，继续寻找等价辅助问题——先证明∠A和∠3所在的两个三角形全等，而且根据已知条件，该等价的辅助问题较易于解决.由得出的△ABD≌△EBD的结论，得到上一个问题的解决——∠A=∠3;可以进一步得到AD=DE，继续由已知条件得出DE=DC，等量代换得到要证的∠4=∠C;接着观察图形由∠3+∠4=180°，最终得到原问题的解决.这一道题，整个过程贯穿着等价变换原则的运用，把要解决的无法直接求出的原问题A，通过不断地寻找等价的易于解决的辅助问题L来解题，每一个辅助问题都与前一个问题等价，最后一个问题L也必定和原问题A等价[1].运用等价变换原则解题能够有效地把繁复的不易于解决的问题转化为较简明的易于解决的等价问题，从而实现逐步地降低题目的难度，使原问题更容易地得到解决.

三、结束语

用等价变换原则指导解题的过程，实质上是把繁复的问题转化为较简明的等价问题的过程.问题分析的过程中形成了一个等价辅助问题链[1]：

链中的每一次变换，或使问题得以简化、或使问题易于处理.解答的过程，只要把这个顺序颠倒过来，逐个叙述就可以了.

总之，在教学全等三角形的证明时，教师首先应该帮助学生熟练掌握判定定理，在此基础上，根据学生的实际学情，引导学生审题读图，从分析条件、结论入手[4]，遇到不能直接证明或欠缺条件的证明题时，引导学生应用等价变换原则来理清证明思路，最后，教师可以通过示范，教会学生如何把应用等价变换原则推导而得的证明思路用标准的几何语言有条理地、规范地把证明过程书写出来.同时，教师应教会学生归纳总结解题策略，反思解题过程，不断积累数学解题的思维经验，力求举一反三，做到“做一题，通一类，会一片”[4].

进一步地，如果说“数学地看待世界、解决问题”可被看成“数学素养”的显性表现[5]，那么我们应当通过数学教学帮助学生学会如何把日常生活中遇到需要解决的繁杂问题，合理科学地进行简单化、清晰化，也即能够逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理.

【参考文献】

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