紧致Ricci孤立子的Ricci平均值

周鉴 官展聿

【摘要】 文章通过在紧致黎曼流形定义一个量δ得到该黎曼流形构成Ricci孤立子的两个必要条件，特别，得出一个紧致Ricci孤立子的δ=0当且仅当它是Einstein的（平凡的）.

【关键词】 Ricci孤立子;Ricci平均;Einstein流形

【基金项目】 国家自然科学基金（1161056）.

一、引 言

定义1  设（Mn，g）为一个完备的n维黎曼流形，如果存在Mn上的光滑向量场v，使得

Ric+ 1 2 Lvg=μg， （1.1）

其中Ric是M的Ricci曲率张量，Lvg是黎曼度量g沿着方向v的Lie导数，μ为给定常数，则称M为Ricci孤立子.特别地，当v是梯度向量场，即存在Mn上的光滑函数f，使得（1.1）变为

Ric+Hess（f）=μg， （1.2）

其中Hess（f）是f的Hessian，则称M为梯度Ricci孤立子，f称为Ricci势函数.当常数μ分别满足μ<0，μ=0，μ>0时，称M分别为膨胀的、稳定的、收缩的.特别地，当函数f为常数，则称M为平凡的Ricci孤立子，此时M是Einstein的.反之，若M是Einstein的，则f为常数，即为平凡的.

Perelman等学者证明了任何一个紧致的Ricci孤立子一定是梯度Ricci孤立子.[1]故研究紧致的Ricci孤立子，实际上是讨论紧致的梯度Ricci孤立子.对于梯度Ricci孤立子的分类是个有趣的问题：在什么条件下其是非平凡的？许多学者做了这方面的研究，特别是在对于紧致的Ricci孤立子：若它们是膨胀或稳定的，则它们一定是Einstein的[1].对于收缩的情况：当n=2或者3时，紧致收缩的Ricci孤立子一定是Einstein的[2].当n>3时，情况有一些复杂，也是学者一直关注的问题.

猜想（Hamilton[6]）：具有正曲率的紧致收缩的Ricci孤立子一定是Einstein的.

本文首先在黎曼流形（Mn，g）定义了一个由黎曼度量g和常数μ确定的量

δ= 1 nV ∫M（| Ric|2-nμ2）dM， （1.3）

其中V为M的体积，|Ric|2为Mn的Ricci曲率张量模长的平方.然后研究紧致的Ricci孤立子，给出了δ的几何意义：

定理1  设（Mn，g）为一个紧致的Ricci孤立子，则

δ= 1 nV ∫MRic（SymbolQC@f，SymbolQC@f）dM， （1.4）

其中SymbolQC@f表示函数f的梯度向量场.这说明δ是沿梯度向量场SymbolQC@f的Ricci平均值.最后，给出了用δ来判断Ricci孤立子是否平凡的条件.

定理2  设（Mn，g）为一个紧致的Ricci孤立子，则（1.3）中定义的

δ≥0， （1.5）

且δ=0当且仅当它是平凡的.

这说明对于紧致的Ricci孤立子，只有当（1.3）中定义的δ>0时，它才是非平凡的.

二、预备知识

本节给出关于梯度Ricci孤立子的一些基本公式和定理证明中用到的知识.用外微分和活动标架法进行计算，采用Einstein求和法（重复指标为求和），规定指标范围1≤i，j，k，l，…≤n.设（Mn，g）为一个紧致的Ricci孤立子满足（1.1），在M上取局部单位正交标架场e1，…，en，对偶标架场ω1，…，ωn，则M的结构方程：

dωi=ωj∧ωji， ωij+ωji=0，

- 1 2 Rijklωk∧ωl=dωij-ωik∧ωkj，

其中d是M上的外微分算子，ωij，Rijkl分别为g诱导的联络形式与黎曼曲率.Ricci曲率Rij与纯量曲率R分别为

Rij=Rikjk，R=Rii.

对于M上的任意光滑函数f，设df=fiωi，其中fi=ei（f）.定义函数f的协变导数：

fi，jωj=dfi+fjωji，

fi，jkωk=dfi，j+fi，kωkj+fk，jωki，

则fi，j=fj，i，fi，jk-fi，kj=flRlijk. （2.1）

（2.1）的第二式叫作光滑函数f的Ricci恒等式.f的梯度向量场SymbolQC@f，Hessian和Laplacian分別为

SymbolQC@f=fiei，Hess（f）=fi，jωiωj，Δf=fi，i.

令φij=Rij- R 2 δij， （2.2）

得到M上的一个二阶对称协变张量φ=φijωiωj，郑绍远和丘成桐在文献[3]中定义了由φ确定的算子□：

□f=φijfi，j，

注意到第二Bianchi恒等式Rij，j= 1 2 Ri，若M紧致，则有

性质1  设（Mn，g）为一个紧致黎曼流形，则对于算子□是自伴的[7]，即对于任意的光滑函数f和h，都有

∫M（h□f）dM=∫M（f□h）dM. （2.3）

若（Mn，g）为满足（1.2）的一个梯度Ricci孤立子，则（1.2）可写为

Rij+fi，j=μδij. （2.4）

容易得到：

引理2  设（Mn，g）为一个梯度Ricci孤立子，则有

R+Δf=nμ，Rij，j+fi，jj=0，Ri+（Δf）i=0. （2.5）

三、主要定理的证明

本节完成引言中两个定理的证明.

定理1的证明  首先计算函数f梯度向量场SymbolQC@f模长平方的Laplacian

1 2 Δ（|SymbolQC@f|2）=f 2i，j+fi fi，jj. （3.1）

由（2.1）得

1 2 Δ（|SymbolQC@f|2）=f 2i，j+fi（Δf）i+Rijfifj. （3.2）

由第二Bianchi恒等式Rij，j= 1 2 Ri，（2.1）和（2.5），則

1 2 （Δf）i+Rijfj=0. （3.3）

由（2.4）与（2.5）的第一式得

f 2i，j=|Ric|2-nμ2+2μΔf. （3.4）

将（3.3）和（3.4）代入（3.2），则

1 2 Δ（|SymbolQC@f|2）=|Ric|2-nμ2+2μΔf-Rijfifj. （3.5）

由Ricci平均值δ的定义（1.3）和Stokes公式，则有（1.4）成立，定理1得证.

定理2的证明  在（2.3）中取函数h=1，则

0=∫M（□f）dM=∫M  Rij- R 2 δij fij dM. （3.6）

由（2.4）得

Rij- R 2 δij fi，j= 1- n 2  μR+ R2 2 -|Ric|2， （3.7）

其中|Ric|2=∑i，jR2ij为Ricci曲率张量模长的平方.将（3.7）和（2.5）的第一个式子代入（3.6），则

∫M  1- n 2  nμ2+ R2 2 -|Ric|2 dM=0. （3.8）

结合（1.3），（2.5）的第一个式子和（3.8），则

nVδ= 1 2 ∫M（R-nμ）2dM. （3.9）

（3.9）右端非负，故（1.5）成立.并且当且仅当R=nμ，即（Mn，g）平凡时，（3.9）表明（1.5）中等号成立.定理2得证.

【参考文献】

[1]Perelman G.The Entropy Formula for the Ricci Flow and its Geometric Applications[J].Mathematics，2002（11）：1-39.

[2]Hamilton R.The Ricci Flow on Surfaces.In Mathematics and general relativity[J].Math General Relativity，1988（71）：237-262.