浅谈初中几何教学中模型思想的渗透策略

黄海燕

摘 要：数学建模，是指将现实世界中的实际问题予以提炼后抽象为数学模型，继而由求得的模型的解来验证其合理性，并将该数学模型所提供的解答应用于现实问题的解释。而将“模型思想”渗透于初中几何教学之中，既可增强学生数学观念和意识，又能提高学生的数学素养。因此，培养学生的数学模型思想，这在初中几何教学中是不容忽视的，但也必是一个循序渐进的、系统而长期的过程。

关键词：数学几何模型;模型思想

中图分类号：G633.63文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）01-082-2

众所周知，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，因而渗透模型思想必须贯穿于数学教学的始终。为了提高学生学习数学的兴趣和应用意识、帮助其初步形成模型思想，教师可采取如下步骤进行教学：先从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，然后用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，最终求出结果并讨论其意义。下面，笔者结合个人的教学实践，以数学几何中典型的添加辅助圆的课堂教学片断设计为例，探寻如何在数学课堂中发展学生的模型思想的方法。

一、化“无圆”为“有圆”——感悟模型思想

《数学课程标准》提倡以“动手操作——数学模型——解释、应用与拓展”的模式开展课堂活动。这样的建模活动不仅有助于发展学生的数学模型思想，更能促进学生理论与实践相结合，进而系统地培养学生应用数学的意识。在教学实践中，此课例的建模活动是如下开展的：

1.动手操作，提出问题

课堂活动1

问题1 已知△ABC中，AB=4，AC=3，当∠B取得最大值时，求BC的长度是多少？

活动（1）你能根据题目动手操作，画出几何图形吗？

活动（2）你画的几何图形唯一吗？如何使得∠B取得最大值？

独立完成上述两个活动，小组内交流成果。（4分钟）

设计意图

由活动（1）可直观引导学生把数学文字问题转化为几何图形问题，从而培养其数形结合的能力和意识，初步体验数学建模过程。

通过活动（2）的设计，学生感受图形的不唯一性。在学生的动手操作的基础上，教师可以借助几何画板演示，让学生感受更加直观，让学生经历数学建模的过程，从而感悟建模思想。

课堂活动2

问题2 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，求线段DH长度的最小值是多少？

活动（3）通过点P的不断运动变化，你能观察发现点H的运动轨迹吗？独立思考后，小组内交流。（5分钟）

设计意图

设计活动（3）的目的在于引导学生关注到图形的不唯一性。在学生动手操作的基础上，教师借助几何画板的演示，让学生更加直观感受到点H的运动轨迹。

在第一阶段所设计的活动中，学生能在小组合作的情况下形成数学建模的初感知，既凸显了团队合作的精神与意义，又让他们经历了从具體到抽象的思维发展过程，为进一步促进建模思想的形成奠定基础。

2.体验感知，初建模型

课堂活动3

师：请大家思考：在满足什么条件下，动点运动轨迹会是圆呢？请思考后与同伴交流、合作完成。

生1：我们知道根据三角形全等中SAS可唯一确定一个三角形，而当我们知道两条边长时，

如图，那么所构成的三角形不是唯一确定的。此时，较短线段的一端点C的运动轨迹就是以A为圆心，AC为半径的圆。

设计意图

通过活动3的设计，学生根据题目的已知条件，发现不同题目的共同特点，从而找到每一道几何题目背后隐藏着一定的法则和规律，归纳出这类题目的几何模型，明确解决问题的思想方法，那么求解这类几何题目就游刃有余！

3.巩固练习，感悟模型

课堂活动4

练习1、（2015年太仓中考模卷）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上运动，在运动过程中保持AB=4不变，点Q为AB的中点，已知点P的坐标为（4，3），连结PQ，则PQ长的最小值是。

练习2、（2016年南京中考卷24题）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE。

（1）求证：∠D=∠E;

（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图痕迹，不写作法）。

设计意图

通过这一活动的设计，学生进一步理解活动3归纳总结的几何模型，能够有意识的联想之前学过、讲过的题型并加以运用、套用，从而在千变万化的几何题目中发现相似的解题思想，将几何题目化难为易，化繁为简。

4.拓展延伸，应用模型

（2017年园区模卷17题）如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是弧AB上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是 。

设计意图

这一活动让学生从更深层次来感悟数学模型，并将所得结果直接用于解决几何问题。通过该问题的练习训练，学生思维能力得以发展，并能尝试对模型的创造性使用，也可更深层地理解和应用数学模型。

二、道“有圆”胜“无圆”——提炼教学策略

1.经历建模，归纳方法

在数学几何教学过程中，要让学生透过千变万化的题目，发现题目背后隐藏着的法则和规律，找到相似的解题思想。这样学生经历了建模的过程，发掘题目内在的规律，其数学思维能力、独立思考和解决难题的能力均能获得提高。与此同时，教师应与学生一起总结归纳出建模的基本思路和方法：①动手操作，提出问题——建立模型准备;②通过几何画板等现代化手段体验感知，探究解决问题——建立数学几何模型;③解释应用拓展，体现数学价值——应用数学几何模型。通过对方法的归纳总结，帮助学生掌握科学的解题方法，规范解题思路，让学生感知、体验几何模型思想的全过程，从而达到传授知识、培养能力的目的。

2.注重渗透，感悟体验

几何图形变幻无穷，解题方法也千变万化，因而几何常被称为“数学界的变形金刚”。尽管题目变化万千，但终归万变不离其宗。透过表面复杂的几何题目，洞悉其内在的基本模型是需要经过不断感悟与锤炼的。这就要求数学教师在日常的课堂教学中勤下功夫，通过对现实情境不断的精心设计来引导学生有效积累经验，逐渐掌握建模的基本方法，促其生形成模型思想的意识，逐步养成用几何模型思想进行数学思维的习惯。教师可在课堂教学中，训练基础较差的学生看到图形相仿或相似的题目后能有意识地联想起曾经学过的题型、并加以运用和套用。同时，培养中等生能由关键点、关键线段或相似条件联想到所学知识点，通过推理、演绎的过程逐步获得正确的解法。而对于优等生而言，所求的最高境界莫过于心中只有少数基本模型，但它们就像种子，遇题便会萌芽，乃至开花结果。随着对题目的深入理解，学生能不断地探寻到适宜的花朵形成具体模型，而每种模型之间又借由其他条件贯穿连接，犹如枝杈相连，彼此并非孤立，若能得此理解才算是包罗万象，驾轻就熟。

3.引导探究，合作互助

课堂中，学生是不容置疑的学习主体，教师则是引导者和助力者，一切课堂教学活动的设计和展开必须要围绕学生进行。在设计教案活动时，教师要有意识地关注问题情境的设计对学生形成发展模型思想的影响，要能设计出可以促进学生动手操作能力的提高、促使其初步感悟模型思想的活动。而在教学过程中，教师应重视给学生充分的时间和空间思考教师提出的问题，要帮助学生由被动学习变为主动学习，通过搭建学生合作互助交流平台，让每一名学生都能参与到数学几何建模的全过程中，从而逐步形成模型思想。

由上可知，数学建模思想的形成过程是一个综合性过程，是促进数学能力与诸多能力协同发展、共同提高的过程。因此，在课堂教学过程中，教师要渗透数学建模思想，让学生学习、实践中不断领会、感悟相关思想和方法，感觉利用建模思想解决实际应用问题的妙处，体会数学之美，进而对独具魅力的数学产生更大的学习、探究兴趣。