圆锥曲线三个性质的统一推广——与焦半径、焦点弦长、中心半径有关的定值

广东省东莞市东莞中学 (523005) 于 涛

在文[1]-[3]中，分别针对圆锥曲线的焦半径、焦点弦长、中心半径(有心圆锥曲线上任意一点到中心的距离)的性质进行了研究，现将三个性质归纳整理如下.

对上述三个命题的证明，文[1]—[3]均借助了圆锥曲线极坐标的相关知识，笔者注意到三个命题证明的共性，并应用该共性(即文中的引理1、2)，将上述三个命题推广至一般情形.

1.理论准备

为便于各性质的证明，先证明下面两个引理.

引理2的证明可先应用余弦降幂公式，再仿照引理1的证明，此处不再赘述.

2.性质推广

2.1 焦半径的性质推广

图1

2.2 焦点弦的性质推广

图2

证明:如图2，设∠A1Fx=α，由焦点弦极坐标公式[2]得|AiBi|=

2.3 中心半径的性质推广

图3