湍流：物理学中最古老的未解之谜

编译 蔡立英

维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）因帮助开创量子力学领域并发展出“哥本哈根解释”和测不准原理等基本理论，荣获1932年诺贝尔物理学奖。传闻说，他曾经说过，如果允许他问上帝两个问题，他会问：“为什么是量子力学？为什么是湍流？”想必，他非常确信上帝将能回答第一个问题。

关于海森堡的这段传闻流传甚广但不足为凭，而且还流传着不同的版本。不过，海森堡确实曾长达数年绞尽脑汁钻研湍流问题。

他的论文导师阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）把湍流问题分派给海森堡研究，只是因为他觉得他的其他学生都不足以迎接这个挑战，包括未来的杰出科学家沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）和汉斯·贝特（Hans Bethe）。海森堡虽然拥有令人生畏的数学技巧，让他得以在量子力学研究中大胆前进，可是面对湍流问题，他却只取得了部分和有限的成功。

大概过了将近90年后，理解和预测湍流的努力仍然具有巨大的实际重要性。湍流是影响从飞机到管道等很多技术设计的因素，而且还影响着对重要自然现象的预测，比如天气。但是，长期以来，我们对湍流的大部分理解停留在特定且有限的方面，使得与流体流动非常有关的技术的长期发展传统且缓慢。只要我们掌握了这种自然界无所不在的现象，这些与湍流相关的技术可能会在更具创造力的方向自由发展。

不明确的定义

湍流的定义是什么？这可能是你期待我们做出解释的问题，表面上这似乎也是本文的主题。不幸的是，物理学家对于如何定义湍流，至今仍未达成共识。湍流这一概念既不像“见到它就知道它”这样糟糕，但也不是物理学中最好定义的概念。

所以现在，我们将从一般的观点说起，随后再让湍流这个概念变得更精确一点。一般的观点认为，湍流涉及复杂、紊乱的流体运动。在物理学语境中，“流体”是指任何流动的东西，包括液体、气体，有时甚至还指颗粒状的物质，比如沙子。

我们的周围遍布流体，不过通常是不可见的。你只需在面前挥手，你就已经产生了不可胜数的复杂空气运动，即使你不能看见。流体的运动通常是感官感觉不到的，除非在光学特性不同的流体之间的分界面上。例如，你能看见在一个流动的小溪表面上有漩涡和涡流，却看不到表面之下的水流模式。流体力学的发展史与流动可视化的实验技术的发展史紧密相关。但是，早在现代流体传感器和高速摄像技术出现之前，就有很多人痴迷于复杂流动模式的多样性和丰富性。

我们倘若要把湍流视为物理学已解决的问题，我们需要能够证明：我们能从描述流体运动的基本方程开始，然后解方程，从而详细预测流体在任何一组特定条件下如何运动。我们不能普遍地这样做，这正是很多物理学家认为湍流是未解之谜的核心理由。

我说“很多”是因为有些人认为湍流问题应该视为已解决的问题，至少在原理上已解决。他们的观点是：计算湍流只不过是牛顿运动定律的应用，尽管是非常复杂的运动。我们已经知道牛顿定律，所以其他一切不过是细节问题。自然，我是持相反意见的。俗话说“布丁好坏，一尝便知”，而这个特别的“布丁”还没有做出来呢。

缺乏基于经典物理学的完整而令人满意的湍流理论，这一点甚至表明，对湍流的圆满解释还需要添加一些量子力学的成分：这是一个少数派的观点，却不容忽视。

葛饰北斋的浮世绘作品《巨浪》

我将在本文中用“速度”来替代雷诺数（Reynold’s number）。雷诺数是速度、长度和黏度等参数的组合，这些参数真正决定流动的类型（包括我们是否应该期待湍流）。但是，如果你让其他因子保持恒定不变，雷诺数是与流速成正比的。

为什么说湍流是一个未解之谜，其中一个例子是我们不能普遍预测有序的非湍流流体（即“层流”）转换成湍流的速度。我们在一些特定的例子中，可以做出很好的预测（这是海森堡取得一些成功的研究问题）。但是，一般而言，我们对转换速度的预测法则是基于实验和工程经验的总结。

此图是从层流到湍流的转换现象的很好例证。它展示了热空气从蜡烛的火焰中升起，运用了19世纪的可视化技术让不同密度的气体看起来不同。这里，被蜡烛加热的空气密度比周围气体密度更小。

经常光顾沙滩的人都会熟悉另一个湍流转换现象：当轻柔流动的海浪接近海岸而“破裂”时就变得复杂和泡沫。在开阔的大海中，如果风速很大或者多个浪花合并形成更大的浪花，风吹起的海浪也会破裂。

作为另一种视觉辅助手段，日本浮世绘中有一种长达百年历史的古老传统：描绘破裂海浪的湍流。在这些浮世绘中，海浪不仅仅是风景的一部分，而且是主要的描绘对象。这些浮世绘画家似乎主要关心的是传达湍流现象的美丽和骇人的力量，而非像达·芬奇那样，从事对自然界的系统研究。最著名的日本画作，也是浮世绘这种绘画类型的代表作之一是葛饰北斋的《巨浪》（又名《神奈川冲浪里》）。

自然界的很多现象描述了从平静有序的流体到湍流的经常突然转换

把湍流视为未解之谜的最后一个理由是：湍流展示了时间和空间上一系列有趣的特性。湍流的大部分时空特性已经通过测量而发现（不是预测），可是对于这些时空特性仍然没有令人满意的理论解释。

模拟

先把支持或反对湍流是“已完成任务”的理由搁置在一边，为什么湍流问题这么难？湍流问题曾被著名物理学家理查德·费曼称为“经典物理学中最重要的未解之谜”。让我们先来看看湍流问题的历史和研究现状，然后从中找到最好的答案。

描述流体流动最常用的公式是纳维-斯托克斯方程。如果你把牛顿第一运动定律F=ma（力=质量×加速度）应用到具有简单物质属性的流体时，你就会得到这个方程。这不包括弹性、记忆效应和其他复杂性的流体，当我们试图精确建立油漆、聚合物和一些生物流体（比如血液）的模型时，就会产生诸如此类的复杂性（还有其他很多物质也会违反纳维-斯托克斯方程的假设）。但是对于水、空气和其他简单的液体和气体，纳维-斯托克斯方程是很好的近似。

纳维-斯托克斯方程很难解，因为它是非线性的。非线性这个词现在用得有点多，但是此处这个词具有某些特定的意义。你可以通过把线性方程的很多简单解加在一起，从而建立起复杂解。用你可能知道的这样一个例子来解释就很恰当：声波方程是线性的，所以你可以把很多不同频率的简单声音叠加在一起，从而产生复杂的声音，这就是“和声”。初等量子力学也是线性的，薛定谔方程允许你把不同的解合在一起，从而找到新的解。

但是，流体力学不是这样的。纳维-斯托克斯方程的非线性意味着：你不能通过把更简单的解加在一起从而获得解答。这也是海森堡凭借其数学天才创立量子力学，却在面对湍流问题时受到如此严峻考验的部分原因。

海森堡被迫采取各种近似和假设，才能在他的论文问题中取得进展。海森堡的一些湍流研究成果也很难证明。比如，对于海森堡的湍流算法，应用数学家弗里茨·诺特（德国杰出女数学家艾米·诺特的弟弟）提出了著名的异议，直到数十年后才最终承认海森堡的算法似乎是正确的。

（湍流的情形是如此难以破解，就连海森堡自己也说，尽管他觉得自己的方法是正确的，却也找不到弗里茨·诺特推理中的瑕疵！）

用于描述更复杂流体的纳维-斯托克斯方程的“堂兄弟”也是非线性的，比如欧拉方程作为一种简化形式的纳维-斯托克斯方程，就忽略了阻力效应。在有些情况下，线性近似确实很好用，比如以极其慢的速度流动的流体（想象一下蜂蜜从罐子中流出来），但是这种近似排除了大多数有趣的问题，包括湍流问题。

谁被计算流体力学打败？

尽管几乎不可能找到现实情况下的流体流动方程的数学解，科学仍需要对湍流进行某种预测性处理。为此，科学家和工程师在对纸笔失望时，转向了唯一可做的选择：计算机。这些研究群体试图充分利用现代硬件，来改变数值计算最苛刻的应用之一：计算湍流。

几乎自从首台巨型计算机问世以来，计算这些紊乱流动的需要，既受益于数值方法和计算机硬件的进步，也是促使这两者不断进步的驱动力之一。这一领域被称为“计算流体力学”（computational fluid dynamics），通常缩写成CFD。

在CFD的早期历史上，工程师和科学家运用直接的数值技术，从而试图直接得出纳维-斯托克斯方程的近似解。这涉及把空间分割成网格，然后计算每个网格点的流体变量（压力、黏度）。流体空间尺度的大范围顿时让这种方法变得代价高昂：你需要找到这样的解使流体特性在最大尺度范围（管道的尺度是以米计，天气的尺度是以千米计，以及小到接近分子尺度）是准确的。即便你把长度尺寸分割到很小，小到毫米或厘米，你也需要数百万个网格点。

计算翼型上的气流的可能网格

计算翼型上的气流的非均匀网格

有一种方法是用可调节尺度的网格来获得合理精度，这始于科学家意识到通常网格中有很大的区域是没什么事发生的。换言之，在远离固体或其他扰动的那些区域，流动可能在空间和时间上都变化缓慢。所有的活动都在其他地方，湍流区域通常是在物体或分界面附近。

如果我们再审视一下翼型（airfoil），设想一个均匀流（uniform flow）从左边开始流过它，把网格点集中在物体附近会更有效，尤其是在前缘和后缘，而不要把网格点“浪费”在远离翼型的地方。上图显示了模拟此问题的一种可能的网格布局。

这是最简单的二维非均匀网格类型，只包含直线。这种最先进的非均匀网格被称为“自适应网格细化”（AMR），在这种方法中，网格实际上随着所模拟的流动而改变并与之相适应。此法把网格点集中在所需之处，而不是浪费在近似均匀流的区域。该领域的研究目标是优化网格生成过程，同时最小化网格对解的人为影响。右图中，美国宇航局（NASA）将该方法应用于对振动的旋翼叶片周围气流的模拟。颜色代表涡度，这是与角动量有关的量。

右图展示了计算网格、翼型和流体解，表明了网格是如何与流体相适应的。网格点在网格分辨率最高的区域非常密集。尽管使用这种自适应网格后，计算效率得到了提高，不过类似这样的模拟仍然是计算密集型的，这种类型的计算一般需要2 000个计算机内核1个星期的时间。

美国怀俄明大学马夫里皮利斯CFD实验室的迪米特里·马夫里皮利斯（Dimitri Mavriplis）及其同事提供了若干他们的AMR模拟视频，视频对于了解AMR技术是如何工作的很有用，因为它展示了计算网格是如何跟踪流体特性的。

这项工作是最先进的数值技术捕捉转换至湍流的一些物理现象的例子，已表示在上文蜡烛加热空气的图中。

另一种充分利用有限的计算机资源的方法涉及改变运动方程，而不是改变计算网格；或是在改变计算网格的同时改变运动方程。

自从20世纪50年代末，在洛斯阿拉莫斯国家实验室开始对纳维-斯托克斯方程的第一次直接数值模拟，科学家就通过对小尺度流体的某种建模来攻关大范围空间尺度的流体问题。换言之，实际上纳维-斯托克斯方程只是能够解决中等和大尺度的流体运动，但是，在一些临界值以下，则用统计模型或其他模型替代。

科学家的观点是：有趣的流体力学现象发生在更大尺度上，因此网格点的分布要能覆盖到这些更大尺度的流体力学现象。但是，网格点之间发生的“次网格”（subgrid）运动主要是耗散能量，或是把动能转变成热能，所以无须追踪细节。这种方法也称为“大涡模拟”（LES），术语“涡”（eddy）表示某个特定长度尺度的流动特性。

尽管次网格建模的发展始于CFD诞生初期，如今已是一个活跃的研究领域。这是因为我们总是想获取最大的计算收益。无论计算机如何强大，允许我们限制所需网格分辨率的高级数值技术会使我们能够处理更加复杂的问题。

还有其他若干在计算机上对流体流动建模的方法，其中一些方法根本不用网格。也许，最成功的方法是称为“光滑粒子流体动力学”（smoothed particle hydrodynamics）的技术，正如其名所示，把流体作为计算“粒子”的集合，追踪粒子的运动无须使用网格。名字中的“光滑”一词来自于粒子之间的平滑插值，该插值用于导出空间中不同点的流体特性。

运用AMR方法模拟旋翼叶片周围的气流

壁面流（wall-bounded flow）中的湍流转换

理论和实验

尽管流体力学家用计算机计算复杂流动的能力令人印象深刻，而且他们的能力还在不断提高，科学家还在继续寻找对湍流更好的理论理解，因为计算机只能计算特定情形下的流体解答，每次只能求解一种情形。只有运用数学，物理学家才会觉得他们获得了对一组相关物理现象的总体理解。幸运的是，有一些主要的湍流理论方法，每种方法都有物理学家想要洞悉的一些有趣现象。

只有少量纳维-斯托克斯方程的精确解是已知的，这些精确解描述了简单的层流（当然不是任何类型的湍流）。对于管道中或两个平板间的流体，两个平板间边界处的翼面流速是0，两个平板间的中间处的翼面流速达到最大值。下图所示的这个抛物线流体剖面解答了该方程：这是一个多世纪已经知道的事情。管道中的层流与之类似，也是在中间处流速达到最大值。

关于这个抛物线解答和类似精确解的有趣之处是：从数学上来说，它们在任何流速下都成立，无论流速多快。但是，实验表明，尽管这在低流速时有效，但在某个中等的“临界”速度时，层流会被打破而变成湍流。试图运用数学方法找到这个临界速度，是海森堡在其学位论文中想要解决的部分问题。

理论学家运用稳定性理论的语言来描述此处发生的事情。稳定性理论是对纳维-斯托克斯方程的精确解及其抗“微扰”能力的检验，微扰是加于流体上的扰动。这些扰动可能的形式是不同光滑的边界、驱动流动的压力变化等。

两个平板间的流体的精确解

稳定性理论的观点是：当低速解答在任何速度下都有效时，那么另一个解答在接近临界速度时也变得有效，而自然界偏爱第二个更复杂的解答。换言之，当简单的解答变得不稳定时，就会被第二个解答所取代。随着速度的进一步加快，每一个解答都会让路于另一个更复杂的解答，直到我们到达我们称为湍流的紊流。

在现实世界中，这种事会总是发生，因为总是存在微扰，这也是为什么层流在日常经验中没有湍流那么常见的原因。

直接观察这些不稳定性的实验很精妙，因为第一次不稳定和完全湍流开始之间的距离相当小。你可以在16页图中看到这样的过程，图中显示了在蜡烛之上受热的空气柱转换为湍流。笔直的气流柱是不稳定的，但是稍过片刻，波状的扰动变得足够大到我们能够看见它是一个摆动。几乎一旦出现摆动，不稳定性的级联累积起来，我们看到流动突然爆发为湍流。

常见模式的另一个例子是如上的示例，展示了在壁面受限流动中发生的典型的湍流转换。

我们能再次看到一个对层流的近似周期性的扰动开始变大，在仅仅几个波长之后，层流突然变成湍流。

捕捉和预测湍流转换是对模拟和理论的持续挑战，在理论方面，努力始于稳定性理论。

在近壁流动中，湍流转换可能会采取某种不同的形式。正如本文中举出的其他例子，微扰被流体放大，直到流体变成紊乱的湍流。但是，湍流并不涉及整个流体，而是仅限于被平静的层流包围的孤立点。最终，更多的点发展、扩大并最终合并，直到整个流体变成湍流。

这些孤立点的迷人之处在于：流体不知不觉进入其中，经历复杂的紊乱运动，然后作为非湍流、有组织的流体在另一边平静出现。与此同时，这些点持续存在，仿佛是嵌在流体中和附在边界上的物体。

尽管自几乎两个世纪前诞生以来, 一直有一流的数学家对这一方程感到困惑, 但确切的解仍然是罕见而珍贵的财产,此方程的基本问题仍旧未得到解答。例如，我们仍然不知道此方程是否在所有情形下都有解。我们也不确定此方程（代表了水和空气的真实流动）的解答是否仍旧适当且有限，是否有一些解答会放大具有无限能量，或是否变得非物理方面的不平滑。

不管以何种方式能解开此困惑的科学家，将有整整100万美元的大奖等着他，湍流问题是美国克莱数学研究所悬赏的千禧年七大数学难题之一。

木星北极的风暴

柱体后面的湍尾流

幸运的是，还有其他方法可以接近湍流理论，其中一些方法不依赖于关于运动方程的精确解的知识。对湍流的统计学研究运用纳维-斯托克斯方程来推断湍流的平均特性，而不是试图精确地解答方程。统计学方法阐述如下的问题：“如果这里的流速是某个值，那么距离此处1厘米之外的流速是某个特定范围的值的概率是多少？”此方法也回答关于这些平均量的问题，比如：试图推动水流过管道时遇到的阻力，或是作用于机翼的升力。

这些才是工程师真正感兴趣的量，至于对湍流的具体而精确的描述，对物理学家或数学家而言是“圣杯”，对于工程师而言却没有用处。

结果表明，研究湍流问题的统计学途径面临的最大障碍之一又是纳维-斯托克斯方程的非线性项。当你运用这个方程来推导有关在一个单点的平均速度的另一个方程时，它包含了新的东西：两点之间的速度相关性。当你导出这个速度相关的方程时，你得到一个含有另一个新项的方程：涉及三个点之间的速度相关性。这个推导过程永不结束，因为恶魔般的非线性项不断产生高阶相关。

通过某种方法终结或“封闭”这个方程的无限序列的需要，在湍流理论中被称为“封闭问题”（closure problem），这仍是现在活跃的研究课题。简言之，要封闭此方程，你需要跳出数学方法，诉诸物理学驱动的假设或近似。

尽管很难，一些类型的流体方程统计解答对于描述发展完全的湍流现象是必需的，这样的湍流有一些。湍流不必只是旋流体的随机、无特点的扩张；实际上，湍流通常比这更有趣。其中最有趣的现象是在猛烈而混乱的流动环境中存在持续、有组织的结构。我们都熟悉木星上以风暴形式出现的壮观景象，这些公认甚至标志性的特征会持续数年，嵌入其中的是高度紊乱的湍流。

更接地气的例子出现在几乎任何现实世界的湍流中。实际上，如果实验人员想创造出真正均匀、没有任何嵌入结构的湍流，就不得不费尽周折。

在上图的柱体后面的湍尾流以及壁面流的湍流转换中，你可以看到类波扰动的回波，类波扰动出现在完全发展的湍流开始之前：这是一个周期波，甚至当流动变得紊乱时仍然持续。

当你的基本控制方程很难解答或很难模拟时，寻找更易处理的方程或模型是自然的，这样的方程或模型仍能捕捉大多数重要物理特性。理解湍流的很多理论上的努力都是如此。

前文我们已经提到次网格模型，次网格模型用于减少数值模拟中所需的网格点数量。简化纳维-斯托克斯方程的另一种方法是称为“壳模型”（shell model）的一类模型。粗略地说，在这些模型中，采用纳维-斯托克斯方程的傅里叶变换，把流体描述为大量不同波长的相互作用的波。然后，用系统的方式舍弃大部分波，只保留少量重要的波。然后，你可以利用计算机或最简单的模型——手算，计算出模式互动及导致的湍流特性。但是，自然而然，在这些模型中，很多物理特性都丢失了；在完整方程不能解答的情形下，这些模型可以让一些方面的湍流统计特性获得研究。

偶尔，我们会听说“物理学的终结”这种说法：认为我们正在接近所有重要问题会得到解答的时期，我们会得到万物理论（theory of everything）。但是，从另一种观点来看，像水流过管道这样的平常现象在很多方面仍未得到解决，这一事实意味着我们不可能达到这样终点，即所有物理学家都同意的学科发展的终点。在我们周围的日常世界中，仍然存在足够多的谜题，使我们的物理学家一直忙碌到未来。

资料来源 arstechnica.com