基于TOF PET改善低剂量CT性能的重建算法初探

程 李，姚树林，刘亚强，马天予*

（1.清华大学工程物理系，北京 100084；2.清华大学粒子技术与辐射成像教育部重点实验室，北京100084；3.解放军总医院第一医学中心核医学科，北京 100853）

0 引言

目前CT已经广泛应用于临床的医疗诊断[1-2]，但是其带来的潜在的辐射风险也引起了人们更多的关注[3-4]。临床上降低CT剂量的方法包括：降低X线管的管电流、管电压，或者稀疏采样，但是这样会导致图像的噪声增大，并可能出现伪影[5-7]。传统CT重建主要采用的是滤波反投影（filter back projection，FBP）算法，这种算法是线性算法，优点是简单、快速，缺点是没有考虑数据的统计特性，特别是应用低剂量CT扫描时容易出现前面所述的问题。除了FBP之外，还有极大似然透射重建（maximum likelihood transmission reconstruction，MLTR）算法和可分离二次替代函数法（separable quadratic surrogate，SQS）等相应的迭代算法。迭代算法的优点是可以考虑数据的统计特性，改善重建图像的噪声和伪影问题，缺点是重建速度慢。迭代算法在低剂量CT的重建领域得到了越来越多的应用，但是较少的数据量依然是制约最终图像质量的重要原因。

临床上越来越多的PET系统都包含了飞行时间（time of flight，TOF）信息，使得 PET 数据可以直接估计衰减信息，并可以在没有CT的情况下唯一确定PET图像，最多差一个全局常数（即根据图像x的TOF数据可重建出结果为kx的图像，其中k是一个未知常数）。除此之外，临床上多模态医学影像的应用越来越多，例如已经广为使用的PET/CT一体机[8]以及新型的PET/MR一体机。由此发展起来联合重建（joint reconstruction，JR）算法，即利用2种相关的图像互为先验，共同提高，例如PET/MR，但是对于2种模态图像结构上不匹配的地方，JR算法可能会带来一些问题，在原本的图像上引入一些伪影。而PET图像和CT图像可以在一次PET/CT扫描中同时获得，PET图像和CT图像内在关联。因此，引入TOF PET数据后，一方面有了更多包含衰减信息的数据，另一方面也可以利用PET/CT图像结构的相似性进一步改善低剂量CT的图像质量。随着长轴向视野的PET系统的研究，比如 EXPLORER[2]、PennPET[9]和PET20.0[10]，其轴向长度达到1～2 m，远远长于临床的PET系统（约20 cm），其探测效率相对于临床的PET系统也提升了一个量级以上，最多可达到40倍。在这些长轴向视野PET系统中可以采集更多的TOF PET数据，因此通过TOF PET数据改善CT图像质量是一种很有潜力的方案。

本研究使用PET数据和联合全变分（joint total variation，JTV）先验来降低低剂量CT图像上的伪影和噪声，并评估了不同低剂量CT的不同剂量降低方法和不同PET计数水平对最终结果的影响。

1 方法

1.1 统计模型

PET和CT采集的数据服从独立的泊松模型。该模型的对数概率似然函数为

其中，Lemis和Ltran分别表示发射数据（TOF PET数据）和透射数据（CT数据）的对数概率函数；i表示第i条响应线；t表示第t个TOF bin；yit表示TOF PET的数据，rit表示TOF PET数据中的噪声信号（包括散射事件和随机符合事件）；P表示PET的投影矩阵；x和μ分别表示PET图像和物体对511 keV光子的线性衰减系数；ytran，i表示CT经过物体衰减后的透射数据；bi表示CT空扫时的数据；si表示CT数据中的噪声信号；μtran表示物体对CT光子的线性衰减系数；矩阵G由lij构成，lij表示第i条响应线和第j个像素相交的长度。

为了同时估计x和μ，将TOF数据和CT数据联合起来构成一个新的目标函数，并且额外添加一个先验约束项来进一步改善图像质量。最终的目标函数形式为

其中，Φ表示最终要求解的目标函数，U表示先验约束函数，β表示一个控制先验约束强弱的参数，f（μ）表示PET 511 keV光子线性衰减系数到CT光子线性衰减系数的转换函数。

正如公式（3）所示，由于光子能量不同，同一物体在2种系统扫描时所表现出的衰减能力也不相同。PET探测的是正电子核素在人体内湮灭产生的一对511 keV光子，而CT发射光子能量通常在150 keV以下（CT发射光子能量取决于X线管的电压）而且是一个连续谱。目前临床上管电压通常选择140 kV。为了简化问题，假设所有的CT光子能量均为140 keV。传统的CT值到PET的衰减系数的变化是一个双线性变换，而本研究选择一种更加简化的线性模型进行后续评估，如公式（4）所示：

其中，μtran表示物体在CT扫描时对140 keV光子的线性衰减系数，μ表示物体在PET扫描时对511 keV光子的线性衰减系数，η是线性转换系数。

线性模型不如双线性模型精确，但是在本次模拟试验中已经足以反映问题和验证结论。

1.2 联合先验

正如前面提到，为了改善重建图像的信噪比，通常需要引入先验约束。在传统的单模态重建时常用的约束先验包括全变分（total variation，TV）等。在JR算法中为了更好地利用2种模态图像之间的结构相似性，本研究选择采用JTV。2种先验的形式分别为

其中，u、v分别表示2种不同模态的图像，x表示不同的位置，δ、γ表示特定的参数。对比以上2个式子可以发现，当（x）≠0时，说明x处很可能是图像v的边界，而这个时候对于图像u而言，联合先验约等效于一个参数δ更大的TV约束，而参数δ越大时对于图像的平滑能力越弱。从上述分析可知，在图像v的边界处，JTV对于图像的平滑能力比TV更小，从而图像v给图像u提供了结构先验的信息。JTV已经在多模态影像JR算法中得到了广泛应用[11-12]。

1.3 重建算法

本研究采用最大似然期望最大化[13]（maximum likelihood expectation maximization，MLEM）和 SQS[14]交替迭代的方法来求解目标函数的最大值。这种算法在迭代过程中可以保证目标函数的值单调增加，并保证最终至少收敛到局部最优解。详细的算法如下所示：

（1）根据衰减信息，采用MLEM算法更新活度图像，迭代公式如下所示：

（2）根据更新的活度图像，采用SQS算法更新衰减图像，迭代公式如下所示：

1.4 成像系统模拟和评估研究

为了对以上方法进行验证，本研究模拟了GEDiscovery690TOFPET系统和与其配套的GE Light Speed CT系统。对于PET系统，TOF分辨力为500 ps，模拟的2D TOF PET正弦图包含288角度采样×281径向采样×11 TOF采样；图像区域被划分成150×150大小的矩阵，矩阵像素大小是3.27 mm×3.27 mm。对于CT，选取的图像矩阵大小、像素大小和PET相同，CT数据包括984角度采样×888径向采样。模拟过程中选择使用Fessler的开源工具包来生成CT数据并进行FBP重建。PET计数和CT的空扫计数分别设置为2M和87 000M，这对应着2种系统临床正常剂量下典型的计数水平。如图1所示，本研究采用2D NCAT模型进行模拟试验，此模型中包含心脏、肝、肺、躯干、骨头等多种组织。模拟试验中基于2D NCAT模型前向投影生成数据，并进行后续的重建和性能评估。

图1 用于性能评估的2D NCAT模型

本研究中，采用的降低CT剂量的方式有2种：

（1）1/24角度：稀疏采样，最终采集的数据对应41个角度采样×888径向采样，空扫总计数为3 600M。

（2）1/10剂量：角度采样和径向采样的个数不变，将总体计数降低为原来的1/10，对应空扫总计数为8 700M。

为了降低患者的辐照风险，除了要降低CT的剂量外，还要降低PET的剂量。目前世界上正在研发一些长轴向视野的PET系统，这些系统的探测效率比传统的PET系统探测效率提升了一个数量级，也可以显著降低PET扫描的剂量。因此，本文在研究过程中也评估了这些长轴向视野PET系统对于低剂量CT性能的改善情况。将PET计数提升了20倍，达到40M，来模拟长轴向视野PET系统的计数水平，并与正常PET计数水平的结果进行对比，进而评估PET计数水平对JR算法结果的影响。

对于所有的模拟数据，除了提出的JR方法外，本研究还对CT进行了单独的FBP重建和SQS重建，并比较JR算法和单独重建的性能差异。另外，在SQS重建和JR重建时还分别引入了TV和JTV约束，用以改善重建图像的信噪比。

为了对重建结果进行定量分析，在衰减图上选取了 3 个感兴趣区（region of interest，ROI）计算重建图像的ROI和真实图像的相似系数（structural simila-rity，SSIM）。SSIM的定义如下：

2 结果

2.1 重建图像

图2、3分别展示了不同重建方法（包括CT单独重建和JR算法）的结果。图2中，FBP重建结果明显比SQS迭代重建的结果差。另外，对比图2（b）、（e）可以发现，稀疏采样的结果比只降低计数的结果更差，其心脏区域和躯干部分与1/10剂量的结果相比更加不均匀。在引入TV约束之后，重建图像的噪声被压低，但是骨头和肺部一些区域的对比度明显变差，如图 2（c）、（f）所示。

图2 CT单独重建结果

比较图 3（a）、（c）可以发现，1/24 稀疏采样数据在与40M PET数据JR之后，背景区域会变得更加均匀。如前文所言，40M对应长轴向PET系统的计数水平。这表明，长轴向视野的PET系统可以有效改善稀疏角度CT的图像质量。对比图2（e）和图3（d），可以发现对于1/10剂量的数据，在不引入先验时，40M PET数据JR算法的结果并未明显改善。

比较图 2（c）、（f）以及图 3（e）、（f），发现图 2 的结果在引入先验之后变得更加均匀，对比度降低。但是，在JR算法中引入联合先验之后，图像噪声被压低的同时对比度并没有明显变差。为了更好地说明这个问题，图4画出了中间一列的剖线。由图4可以看出，在2个尖峰处TV约束重建的结果明显比真实图像值要低，而JTV约束的结果则和真实图像值十分接近；在中间的平坦区域，2种先验约束的结果都很好，有效地压低了噪声。总体来说，JTV在保持边界和对比度方面确实都表现得很好。

图3 联合重建结果

图4 CT图中心列的剖线（对应图3中的红线）

2.2 定量分析

对于所有方法（FBP除外）重建的CT图，分别计算3个ROI的 SSIM，SSIM表示重建图和真实图像的相似程度，值越大表示重建结果越好。结果见表1。ROI1和ROI2包含更多细节的区域，SQS+TV的重建结果比其他方法得到的结果要差，这与图2中的结果一致，原因是边界被模糊，导致了一些细节信息的丢失。对于ROI3，SQS+TV和JR+JTV的结果明显好于其他3种方法的重建结果，这是因为ROI 3原本是一个平坦区域，SSIM主要取决于重建结果的噪声水平，而加上先验约束正是对噪声有明显的抑制作用。

对比不同方法重建的ROI 3的SSIM，可以发现对于2组低剂量CT数据，SQS重建性能和2M PET数据JR算法一致，比40M PET数据JR算法的结果要差。因此，超性能PET系统确实可以帮助改善CT的性能。

总体来说，JR+JTV重建方法在3个ROI内性能都比较好，意味着此方法可以在降低噪声的同时保持对比度。

表1 3个ROI在不同重建方法中的SSIM

3 讨论和总结

本文提出了一种利用TOF PET数据改善低剂量CT性能的联合重建（JR）方法。模拟结果表明，引入JTV先验的PET和低剂量CT联合重建确实改善了低剂量CT的图像质量，不论是针对于降低计数还是稀疏角度采样，引入PET数据后都可以在降低噪声和伪影的同时保持对比度。特别是稀疏扫描时CT的伪影问题，依靠PET的固有衰减信息依然可以得到有效解决。如果CT剂量进一步降低，PET数据对于CT重建的帮助更大，这对于临床上降低患者扫描时辐照风险有着十分重要的意义。本次研究还揭示了长轴向视野PET系统改善CT成像的潜力。在本次研究中，引入JTV先验之后PET重建结果被过度平滑，这主要是因为本次研究中主要是考虑CT图像的质量，为了更好地利用PET图像先验信息，在参数选择时让CT图像对PET图像的边界信息更加敏感，最终实现降低噪声同时保持对比度。在未来工作中会进一步优化算法，最终期望可以同时获得高质量的PET、CT图像。